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nicht ab. Die Verfasser zeigen dabei deutlich , dass sie das gefundene Verhältniss 

 3y > yf > 3,- x keineswegs für genau halten , sie sagen offen , dass man die Rechnung 

 führen kann, bis zu welchem Grade der Genauigkeit der Rechner sie treiben will. Ihre 

 Rechnung führen sie nach dem Coinmentar des Eutokius, doch rechnen sie die be- 

 treffenden Wurzeln nicht nach. Einzelne kleine Abweichungen finden sich freilich. So 

 rechnen sie die im Archimedes ed. Heiberg III, S. 277 vorkommende Zahl 1350 534J ^' T 

 zu 1350 534], ebenso die nachfolgende Zahl zu 1373 943]. 



VII' 1 . Wenn man die Ueberschüsse des halben Umfanges eines 

 Dreiecks über jede seiner Seiten unter sich und mit dem halben Umfang 

 multiplicirt, so erhält man den Inhalt des Dreiecks mit sich selbst 

 multiplicirt. -- Der Beweis der Formel /l 2 = ('s — a) (s— b) (s — c) s, wie ihn die drei 

 Brüder geben, findet sich nach ihnen in vielen Geometrien des Mittelalters; so bei 

 Leonardo von Pisa, er soll sich auch bei Jordanus finden, uns ist er dort bis jetzt 

 nicht aufgestossen; ferner hat ihn Lucas Paccioli und Andere. Dagegen war die 

 Bekanntschaft des Mittelalters mit dem echten Heronischen Beweise bis vor Kurzem 

 fraglich. In meinem Aufsatze über eine Handschrift der Königl. Oeffentl. Bibliothek zu 

 Dresden in der Zeitschrift für Mathematik und Physik habe ich wohl die Existenz auch 

 dieser Beweisform im Mittelalter nachgewiesen. Das Wort augmetitum, das ich für das 

 sinnlose unguium der Handschrift B aus P aufgenommen habe, hatte Professor Kinkelin 

 in seiner Ausgabe schon durch Conjectur als die wahrscheinliche Lesart hingestellt. 



VII b . Ein zweiter Beweis derselben Formel. — In der Abschrift von 

 Kinkelin, der in seinem Abdrucke diesen zweiten Beweis nicht giebt, hält dieser in 

 einer Randbemerkung denselben für nicht wieder herstellbar und räth daher, ihn bei 

 einer etwaigen Ausgabe wegzulassen. Ich hone gezeigt zu haben, dass eine Reconstruction 

 des Beweises nicht zu schwierig war; ich würde selbst, dann denselben haben abdrucken 

 lassen, wenn ich auch nichts mit ihm hätte anfangen können. — Ueber diesen Beweis 

 sehe man speciell: „Hultsch, der Heronische Lehrsatz über die Fläche des Dreiecks 

 als Function der drei Seiten" (Zeitschrift für Mathematik und Physik IX, S. 225—249), 

 wo die Geschichte desselben bis zum Ausgange des Mittelalters verfolgt wird. Unter 

 allen diesen mittelalterlichen Beweisen ist der der drei Brüder der einfachste. 



VIII. Wenn ein Punkt innerhalb einer Kugel von vier Punkten 

 derselben, welche nicht in einer Ebene liegen, gleichen Abstand hat, so 

 ist er der Mittelpunkt der Kugel. — Die Verfasser zeigen, dass die durch je drei 

 der gegebenen Punkte gelegten Kreise auf der Kugel liegen und dass die von dem ge- 

 gebenen Punkte auf diese Kreise gefällten Lothe die Mittelpunkte derselben treffen 

 müssen; daher ist der Punkt Mittelpunkt der Kugel. 



