Liber trium fratmm. (p. 59) 163 



Die folgenden Sätze entsprechen den Sätzen im ersten Buche des Aechimedes 

 de Spliaera et Cylindro. Sie gipfeln in der Berechnung der Oberfläche und des Volumens 

 der Kugel. 



IX. Wenn die Axe eines Kegels (pyramis columpna) auf der Grund- 

 fläche senkrecht steht, so sind alle Seitenlinien einander gleich, und 

 der Mantel desselben ist gleich dem Pro du et der Seitenlinie in dem 

 halben Umfang des Grundkreises. — Die Verfasser zeigen, dass man unter An- 

 nahme, der Mantel sei grösser oder kleiner als das betreffende Product, auf einen 

 Widerspruch stösst. (Aechimedes 1. c. VII— X und XIV.) 



X. Der Durchschnitt eines Kegels mit einer zur Grundfläche des- 

 selben parallelen Ebene ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Axe 

 des Kegels liegt. — Es ist zu beachten, dass weder im Lehrsatze noch im Beweise 

 von geradem Kegel die Bede ist, dass vielmehr aus Lehrsatz IX und XI zu folgen 

 scheint, dass die Verfasser den Satz vom allgemeinen Kegel verstanden wissen wollen. 



XI. Der Maritei eines geraden Kegelstumpfes ist gleich dem 

 Producte der Seitenlinie in die halbe Summe der Umfange der beiden 

 Grundflächen. Aechimedes 1. 1. XVI. Dazu der Zusatz: Wenn ein Körper so 

 aus Kegelstumpfen besteht, dass die obere Grundfläche eines jeden zu- 

 gleich die untere Grundfläche des darauf stehenden, der oberste aber 

 ein vollständiger Kegel ist, und die Seitenlinien aller dieser Kegelstumpfe 

 resp. des oberen Kegels sind einander gleich: so ist der Mantel des zu- 

 sammengesetzten Körpers gleich dem Producte einer Seitenlinie in die 

 Summe aus dem halben Umfang des Grundkreises und sämmtlichen Um- 

 fangen der übrigen Schnittkreise. 



XII. Theilt man einen Kreisquadranten in eine beliebige Anzahl 

 gleicher Theile, verbindet den ersten Theilpunkt mit dem zunächst 

 liegenden Endpunkte des Quadranten und verlängert diese Linie, bis sie 

 den durch den anderen Endpunkt des Quadranten gehenden verlängerten 

 Kadius trifft, so ist die Strecke vom Mittelpunkte des Kreises bis zu 

 dem genannten Durchschnittspunkte gleich dem Radius vermehrt um die 

 Summe aller durch die Theilpunkte des Quadranten zu dem verlängerten 

 Radius gezogenen parallelenSehnen. — Beruht darauf, dass man leicht Parallelo- 

 gramme construiren kann, aus denen man mit Hülfe der Gleichheit der Gegenseiten 

 ohne Weiteres den Satz erschliesst. Daraus folgern die drei Brüder folgenden Zusatz, 

 welcher freilich der eigentliche Angelpunkt ist, um dessentwillen der obige Satz auf- 

 gestellt ist: Das Product der in dem Satze XII. bestimmten Strecke in die 



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