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Hälfte der Sehne eines Theiles des Quadranten ist kleiner als das 

 Quadrat des Radius und grösser als das Quadrat des vom Mittelpunkt 

 auf eine der Theilsehnen gefällten Lothes. (Siehe Satz XXI und XXII des 

 Archimedes 1. 1.) 



XIII a . Ist ein in dem Korollar zu Satz XI definirter Körper einer 

 Halbkugel eingeschrieben, so dass die Grundfläche des ganzen Körpers 

 mit der Grundfläche der Halbkugel zusammenfällt, so ist die Oberfläche 

 dieses Körpers kleiner als der doppelte Grnndkreis der Halbkugel. — 

 Archimedes 1. 1. XXV. Zu beachten ist die Phrase quantitas, in quam cum multi/plicetur 

 dyametcr, proveniet circumferencia für n. Nachdem nebenbei noch bewiesen ist, dass 

 der Kreisinhalt gleich r tt. ist, wird in dem von mir mit 



XIII b . bezeichneten Theile des Satzes bewiesen, dass, wenn man in den frag- 

 lichen Körper eine Halbkugel beschreibt, die Oberfläche des Körpers 

 grösser ist als der doppelte Grundkreis dieser Halbkugel. Hier wie bei 

 Satz XIII kommt das Korollar zu XII zu seiner zweckmässigen Anwendung. Zu ver- 

 gleichen sind Archimedes 1. 1. XXIX und XXX. 



XIV. Die Oberfläche der Halbkugel ist das Doppelte eines grössten 

 Kreises der Kugel. Archimedes 1. 1. XXXIII., ebenso am Schlüsse das Korollar, 

 also ist die Kugelfläche das Vierfache. 



XV. Das Volumen der Kugel ist gleich dem Producte des Radius 

 in den dritten Theil der Oberfläche der Kugel. — Archimedes 1. 1. XXXIV. 

 Wenn die Beweise dieser Sätze, wie wir anmerkten, sich auch wesentlich auf Archimedes' 

 Ausführungen stützen und in ihr ihren letzten Grund haben, so sind sie doch keines- 

 wegs mit denselben identisch. Man sieht in Allem, dass die Art zu beweisen eine andere 

 geworden; auch die Art die Sätze auszusprechen, bei Archimedes meist in Proportions- 

 form gegeben, hat sich geändert, sie hat sich mehr der modernen genähert. Der Aus- 

 druck für die Kreisfläche in der Form r n ist mir hier zuerst entgegengetreten. Hier 

 verlassen wir Archimedes, um anderen alten Autoren zu folgen. Der nächste Satz 



XVI. zeigt, wie man zwischen zwei gegebene Grössen zwei andere 

 einschalten kann, so dass sie zwei mittlere Proportionalen bilden, wobei 

 die drei Brüder noch ausdrücklich bemerken, dass dadurch auch die dritte Wurzel aus- 

 gezogen werden könne, denn man habe, wenn man 1 : a = a:b = b :c, die Beziehung 

 a = c, es sei also a = y— Die Construction uud den Beweis, welchen die drei Brüder 

 hierfür geben, schreiben sie dem Menelaüs (von ihnen Mileüs genannt) zu, „cid est 

 Über, in geumetria". Dies können doch kaum die Sphaerica sein, — welches Buch ist aber 

 dann gemeint? Diese Construction ist jedoch absolut mit derjenigen identisch, welche 



