6 Rudolf Schimmack, 



gern als subjektive Leitsätze diese nehmen: die Axiome sollen, einzeln ge- 

 nommen, nicht offenkundig mehr postulieren als für den jeweiligen Zweck 

 nötig: und die Axiome sollen so weit gespalten sein, daß sich nicht aus 

 einem allein schon ein wesentlicher Schluß ziehen läßt. 



An zweiter Stelle pflegt man das System der Axiome vornehmlich 

 der Forderung der Unabhängigkeit zu unterwerfen — d. h. es 

 soll sich nicht ein Axiom aus anderen des Systems deduzieren lassen. 

 Diese Forderung hat einen objektiven Charakter, und die Frage, ob 

 ein Axiomsystem ihr genügt, verlangt eine präzise Beantwortung. Um 

 die Unabhängigkeit der Axiome voneinander zu beweisen, bedient man sich 

 der folgenden Methode. Man konstruiert ein System von Sätzen bezw. 

 einen einzelnen Satz, bei dem alle Axiome außer einem einzigen erfüllt sind; 

 durch die Existenz eines solchen Systems bezw. Satzes ist dann die Un- 

 abhängigkeit des einen unerfüllten Axioms von den übrigen, die erfüllt 

 sind, dargetan. Und so entsprechend mit jedem Axiom des Systems. Wir 

 bemerken noch: Die allgemeinste (!) Aussage, die alle Axiome außer dem 

 jeweiligen einen erfüllt, kann durch Kombination der zu erfüllenden übrigen 

 Axiome erschlossen werden. Da es für die Unabhängigkeitsbeweise aber 

 jedesmal nur auf die Angabe eines speziellen (!) Systems bezw. Satzes an- 

 kommt, so wird man bei der Aufsuchung eines solchen häufig von vorn- 

 herein geeignete Spezialisationen eintreten lassen. 

 § 2. Axiomatische Untersuchungen sind unentbehrlich geworden, wo es 



auf die Klarstellung der Grundlagen mathematischer Aussagen ankommt. 

 An den Gebieten der Geometrie und der Arithmetik hat sich die Axiomatik 

 entwickelt und bewährt. Aber auch bei speziellen Sätzen wird bisweilen 

 eine axiomatische Behandlung geboten erscheinen, insbesondere bei solchen, 

 deren geschichtliche Entwicklung geradezu auf eine genaue Prüfung der 

 Grundlagen hinweist. Hierher gehört ohne Frage der Satz vom Parallelo- 

 gramm der Kräfte. 



Übrigens ist nicht gemeint, daß mit der axiomatischen Untersuchung 

 eines Satzes oder eines Systems von Sätzen alles beantwortet sei, was 

 berechtigtermaßen über den Satz bezw. die Sätze gefragt werden kann. 

 Vielmehr liefert die Axiomatik dies und nur dieses: Der und der Satz ist 

 dann und nur dann richtig, wenn die Axiome es sind (und wenn die Logik 



