8 Rudolf Schimmack, 



§ 4. Wir fügen nun den bisher betrachteten Forderungen eine weitere 



hinzu — eine Forderung, die nur bei der Deduktion eines einzelnen Satzes 

 aus einem System von Axiomen in Betracht kommt. 



Wir verlangen, daß die Axiome in der festgelegten Ordnung I, II, 

 . ., N beim Beweisgange des Additionssatzes sukzessiv herangezogen werden 

 sollen, und zwar in folgender Weise. Zuerst wird allein aus I, II etwas 

 gefolgert; wir nennen das Erschlossene „Satz 1"; zudem wird bewiesen, 

 daß 1 ohne I oder ohne II nicht folgt. Durch Hinzunahme von [II wird 

 etwas weiteres gefolgert; wir nennen es ,,Satz 2"; zudem wird bewiesen, 

 daß 2 ohne I oder ohne II oder ohne III nicht zu erschließen war .... 

 So geht das fort, bis schließlich nach Heranziehung des letzten Axioms N 

 der Additionssatz abgeleitet ist. Überdies verlangen wir, daß an jeder Stelle, 

 wo zur Ableitung eines weiteren der Sätze 1, 2, 3, . . . das nächstfolgende 

 Axiom hinzugenommen wird, auch gerade die Hinzunahme eben dieses 

 Axioms für den Beweisgang notwendig ist, während die Hinzunahme eines 

 anderen Axioms des Systems nicht in derselben Weise weiterführen würde. 

 Durch Erfüllung des damit Geforderten - - wir mögen es als Forderung 

 der „Sukzessivität" bezeichnen — vermag man einen charakteristischen 

 Zusammenhang zwischen Axiomsystem und Beweisgang zu schaffen, der für 

 die Durchsichtigkeit der Deduktion ohne Zweifel von Vorteil ist und ein 

 feineres Kriterium zur Beurteilung und Vergleichung verschiedener Beweis- 

 gänge abgibt. 



Der Beweis des Additionssatzes aus den Axiomen wird sich nach 

 dem Gesagten in folgendem Schema darstellen lassen: 



I, 



II, 





> 1 



I, 



II, 



III, 



:> 2 



I, 



II, 



III, 



IV ^ 3 



Andererseits werden die negativen Behauptungen, die wiederum mit 

 Hülfe von Pseudoadditionen zu beweisen sind, so lauten: 



/- 



II 







>1 



u 



. 1 



III, 



IV, .. 



., #;j>i 



1 1 



II, 



III, 





}2 



I, 



) 



III 





3)2 



II, 



II, 



) 



IV, .. 



.., N^>2 



