Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 11 



Gleichzeitig hiermit erschienen zwei Aufsätze — von den Herren G. Kamel 

 und F. Schur — , die sich ebenfalls mit der Vektoraddition beschäftigen 1 ). 

 Die dort angestellten Untersuchungen sollen hier nicht ausführlich dargelegt 

 werden. Es möge nach Angabe der wichtigsten Resultate der Zusatz einiger 

 kritischer und ergänzender Bemerkungen im siebenten Abschnitt genügen. 



Die beiden ersten Abschnitte sollen dem Studium gewisser Funktional- 

 gleichungen gewidmet sein, zu welchem die axiomatische Untersuchung der 

 Vektoraddition au verschiedenen Stellen hinführt. Da der Gegenstand auch 

 abgesehen von axiomatischen Betrachtungen etwas bedeutet, so mögen wir 

 die Darstellung unabhängig von ihnen wählen. Wir werden uns dann im 

 nachfolgenden häufig darauf rückbeziehen. 



Der erste Abschnitt speziell soll von der Funktionalgleichung 

 handeln, auf die der Darboux sehe Beweisgang hinausläuft. Wir werden 

 das Studium dieser Funktionalgleichung im Zusammenhange darlegen, wobei 

 sich das wichtige von Herrn Hamel 1905 mitgeteilte Ergebnis 2 ) über- 

 sichtlich einreiht. 



Im zweiten Abschnitt sollen sich weitere Betrachtungen über 

 Funktionalgleichungen anschließen. Sie gruppieren sich vornehmlich um 

 drei Funktionalgleichungeu, die mit der zuerst betrachteten eine gewisse 

 formale Ähnlichkeit haben. Dabei wird sich Gelegenheit bieten, den Charakter 

 der Lösungen dieser Gleichungen von einem allgemeinen abzuleitenden Satz 

 aus verständlich zu machen. 



!) G. Hamel, Über die Zusammensetzung von Vektoren, Zeitschr. f. Math. u. Phys. 49 

 (1903), S. 362 — 371; F. Schur, Über die Zusammensetzung von Vektoren, ebenda, S. 352 — 361. 



-) G. Hamel, Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktional- 

 gleichung f{x + y) = f(x)+f(y), Math. Ann. 60 (1905), S. 459 — 462. 



