Zur Lehre der Funktionalgleichungen. 



Erster Abschnitt. 



Studium der Funktionalgleiclmng f(x + x') =f{x) +f(x 4 ). 



& (j. Die Funktionalgleichung f(x -\-x') = /'(.'•) + /'<>'), deren Lösungen in 



diesem Abschnitt zusammenhängend untersucht werden sollen, tritt nicht 

 allein bei der axiomatischen Begründung der Vektoraddition auf, sondern 

 man begegnet ihr nicht selten auch beim Beweise anderer fundamentaler Sätze. 

 Legendre wird z. B. auf sie geführt, wenn er die Formel für den 

 Flächeninhalt des Rechtecks aus gewissen einfachen Prämissen ableitet 1 ). 

 Die Überlegungen, die E. Mach in seiner „Mechanik" über die Beweise 

 des Hebelprinzips anstellt 2 ), benutzen — mathematisch präzisiert — die 

 Auflösung eben unserer Funktionalgleichung. Auch der Darboux sehe 

 Beweis des Fundamentalsatzes der projektiven Geometrie 3 ) läuft auf die- 

 selbe Funktionalgleichung hinaus. 



In all diesen Fällen handelt es sich direkt genommen nicht darum, 

 die allgemeinste Lösung der Funktionalgleichung aufzusuchen, sondern es 

 kommt nur auf solche Lösungen an, die außer der Forderung der Ein- 

 deutigkeit noch gewissen „Nebenbedingungen" genügen. Im folgenden 

 werden wir vorerst, um die erforderliche Allgemeinheit der Betrachtung zu 

 erreichen, von allen Nebenbedingungen absehen und machen über die zu 

 untersuchenden Funktionen f(x) allein die 



4 ) A. M. Legendre, Elements de geometrie, 4. ed., Paris 1802, S. 279. 



2 ) E. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung, 4. Aufl., Leipzig (Brockhaus) 

 1901, S. 16. 



3 ) G. Darboux, Sur le theoreme fondamental de la geometrie projeetive, Math. 

 Ann. 17 (1880), S. 55. 



