Kudolf Schinimack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 13 



Voraussetzungen: Zu jeder Zahl x gehöre eindeutig eine Zahl 

 fix); für jedes Paar von Zahlen x, x' sei die obige Funktionalgleichung 

 erfüllt. „Zahl" bedeute hier und im folgenden endliche reelle Zahl. 



1. Vorbereitende Sätze. 



Zunächst einige einfache Betrachtungen, die uns die sämtlichen § 7. 

 stetigen Lösungen der Funktionalgleichung liefern. 



Durch Schluß von n auf n + l erkennt man mittels Anwendung der 

 Funktionalgleichung sofort die Richtigkeit der Formel: 



finx) = nf{x) 



für beliebige Zahlen x und positive ganze n. Sei nun - eine positive 

 rationale Zahl, so wird: 



Z-f(^ x ) = AP«) = P'fW oder f(^ x ) = \f^ 

 und für x = 1 : 



Diese Gleichung muß aber für. alle (!) rationalen Zahlen gelten, denn aus 

 der Funktionalgleichung ergeben sich sofort die Relationen: 



fifS) = 0; f(—x) = —fix). 



Soll speziell fix) für alle x stetig sein, so muß die Gleichung, die 

 für die überalldichten rationalen - gilt, für alle x bestehen: 



fix) = x-fil). 



Wir formulieren daher zwei Sätze, denen wir sogleich noch einen dritten 

 evidenten hinzufügen: 



Für alle rationalen m und beliebige x ist fiynx) = m-f(x) und f(m) = m-fil). 



Die einzigen totalstetigen Lösungen sind fix) = C-x, wo C = fil) eine 

 mllkürlich zu wählende Konstante bedeutet. 



Sind /i ix), f 2 ix), . . . Lösungen der Funktionalgleichung, so sind es auch 

 die Funktionen, die man irgendwie durch Iteration' erhält: 



