14 Rudolf Schimmack, 



fx (fx W). fl (/*! (fx <«))). • ■ • 



fiC&fcÄ ACTiC*)). /ifäfö (*))). ••• 



§ 8. Da die einzigen totalstetigen Lösungen der Funktionalgleichung 



bereits bekannt sind, wird es sich um die Frage handeln, was für unstetige 

 Lösungen die Funktionalgleichung besitzt. Wir behaupten: 



Eine unstetige Lösung f(x) kann nicht integrabel sein. 



Angenommen nämlich, es existiere für eine geeignete Zahl a die 

 Funktion : 



x 



F{x), 

 so ergibt die Integration der Funktionalgleichung nach x von a bis x + a: 



x+a x + a 



fm+tf)ä§= ff®d£ + x.f(x<). 



Hierin ist einerseits: 



x+a x+x'+a 



ff($ + x')d£ = /f(g,)«*gi = F(x + x' + ä) — F(xf + a) 



a ar' + a 



und andererseits: 



x+a 



f®d§ = F(x + a) 



ß 



also folgt: 



Fix + x' + a) — F(x + a) —F(x' + ä) = x-f(x'). 



Da aber in dieser Gleichung die linke Seite symmetrisch in x und 

 x' ist, so muß es auch die rechte sein, und man erhält: 



x'-f(x) = x-f(x'). 



Für alle von o verschiedenen Argumente ist daher: 



fix) fix 1 ) 



— ^ = '-^-r- = const., 



