Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 15 



d.h.: 



fix) = C-x, 



worauf sich der Wert fiO) = von selbst stetig einreiht. Setzt man also 

 die Lösung fix) als irgendwo unstetig voraus, so kann sie nicht integrabel sein. 



Wir behaupten weiter: 



Eine unstetige Lösung fix) mufs totalunstetig sein. 



Angenommen, fix) sei an einer Stelle x stetig, d. h. zu jedem posi- 

 tiven e gäbe es ein positives ö, sodaß 



\f(x + h) — f(x )\<s 



wird für jedes h, dessen | h | < 6 ist. Die Differenz ist nach der Funktional- 

 gleichung gleich fih). Ist nun x y irgendeine andere Stelle, so ist nach der 

 Funktionalgleichung ebenfalls : 



ffa+ h) —m) = fih), 



und somit wird für jedes \h\<6 auch: 



\f(X l +h)—f(X l )\<E. 



Die Funktion ist daher an jeder Stelle x x stetig; soll eine Lösung fix) un- 

 stetig sein, 'so kann sie keine einzige Stetigkeitsstelle haben. 



Um uns fernerhin bequem ausdrücken zu können, werden wir die § 9. 

 Lösungen fix) durch eine Punktmenge dargestellt denken, indem 

 wir je zwei zusammengehörige Werte x und fix) bezüglich als Abszisse und 

 Ordinate eines Punktes in der gewöhnlichen kartesischen Ebene deuten. 



Sei (j x irgend eine feste Zahl, so ist nach § 7 für die Gesamtheit 

 der Argumente jkj fi { , wo m, eine beliebige rationale Zahl bezeichnet, 

 fimifii) — mcfiih), und man erhält eine Menge von Darstellungspunkten, die 



auf der Geraden y = x'—^ überalldicht liegen. Wollen wir jetzt eine 



unstetige Lösung fix) betrachten, so muß mindestens ein (!) Darstellungs- 

 punkt außerhalb dieser Geraden liegen; dieser Punkt gehöre zu dem Argu- 

 ment //., , sodaß -— 4= ly^l ist. Betrachten wir sodann alle Zahlen der 



^2 ,«1 



Form niifii +m i (/ i , wo m, und m- 2 beliebige rationale Zahlen bedeuten, so 

 hat für diese Argumente unser f die Form: 



