16 Rudolf Schimmack, 



A»»i i"i + m l /"s) = m \ /"Ol ) + ™ > /"(ft) ; 



f(fii) und /"(/w 2 ) sind darin bestimmte, nicht näher bekannte Werte. 



Aus dieser Darstellung ergibt sich alsbald der folgende Satz, der 

 auf die vorhergehenden Sätze ein noch klareres Licht werten wird: 



Die Menge der Darstellungsjmnkte einer unstetigen Lösung f(x) liegt 

 in der ganzen Ebene überalldicht. 



Betrachten wir nämlich einen beliebigen Punkt (x, y) der Ebene, so 

 können wir zwar nicht verlangen, daß er in der Menge der Punkte 

 («2, (ii+ni 2 fi 2 , niifdi^ + nufiiHi)) enthalten ist; d. h. wir können nicht verlangen, 

 daß sich die Gleichungen 



m t fi^ + m 2 /j-, = x, 

 w, /X"]) + m 2 f '(//,) = y, 



A,«i) f(j*i) 



=f=0 ist, 



durch rationale Werte m,, m 2 genau befriedigen lassen. Wohl aber können 



wir die Rationalitäten m u m 2 so nahe an den genauen Lösungen l u l 2 der 



Gleichungen 



Z, fi t + li fi 2 = x, 

 ht\ih) + hf{^ = y 



wählen, daß die Fehler in den ersteren Gleichungen beliebig klein werden. 



Um nämlich 



| m t fi t + m 2 //., — x | < £, 

 I »»i A,«i ) + m 2 f{(i 2 )—y | < f 



zu machen, genügt es 



I m \ — h I < <*i 

 | m-, — l 2 | < 6' 



zu wählen, wo 6 die kleinere der beiden Zahlen 



Iftl + Tftl' \fM + \fito) 

 bedeutet; denn es ist: 



w, (i x + m 2 (i 2 — x = (m , — 1 { ) fi , + (j» 2 — L) // 2 , 

 «hfifi)-+*9if.0'st)—y = {m\ — l\)f{(iC) + {m 2 — l i )f{fi- 1 ), 



und daher wird: 



\niifji +m 2 f/ 2 —x\<(\(i l \ +\/j 2 \) 6£s, 

 | w, /ty,) + m 2 f(//,) — «/ 1< (| f(u t ) | + | f{ii 2 ) \)6^e. 



