Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 17 



Grenzt man also um den Punkt (x, y) als Mittelpunkt ein noch so 

 kleines Quadrat ab, so kann man immer ein rationales Wertepaar m lt w 2 , 

 d.h. ein Argument m x ^ + nu n* unserer unstetigen Funktion f{x) so finden, 

 daß der zugehörige Darstellungspunkt in dieses Quadrat hineinfällt. Damit 

 ist der obige Satz bewiesen. 



2. Die allgemeine Lösung. 



Das weitere Studium der Funktionalgleichung nötigt uns zur Ver- § 10. 

 allgemeinerung der vorhin abgeleiteten Formel: 



f{m { fi ± + m- 2 (i. 2 ) = m, /"(,«,) + m 2 f(/i 2 ). 



Da die Menge der Argumente m x y. Y +m 1 fi i , wo (i x und fi 2 feste Zahlen, m x 

 und rn-i variable Rationalitäten bedeuten, eine abzählbare ist, so gibt es eine 

 Zahl ,m 3 . die sich nicht in jener Form darstellen läßt. Für dieses (i s hat 

 die Funktion einen gewissen Wert f(fi 3 ) und ist dann ihrer Gestalt nach 

 für alle Argumente m x ii x + m 2 (t- 2 + ni 3 (/ 3 , wo m 3 eine variable Rationalität 

 bedeutet, bestimmt: 



f(m x p x + nu (i 2 + m 3 t u 3 ) = m x /"(,«,) + m- 2 f(// 2 ) + m 3 f(/i 3 ). 



Die so erweiterte Menge von Argumenten ist indes wieder nur eine abzähl- 

 bare; es gibt also abermals eine Zahl ^ 4 , die nicht in jener Menge enthalten 

 ist. Für dieses fi i hat die Funktion wiederum einen gewissen Wert fi/n) usw. 



Die so angedeutete Schluß weise führt zu dem Satze, den in etwas 

 anderer Gestalt bereits Herr VolpP) aufgestellt bat. Wir formulieren ihn so: 



Für jede Menge von Argumenten der besonderen Form m x (i x + . . . + m n //„, 

 wo die fi irgendwelche festen Zahlen, n eine natürliche Zahl und die m 

 variable Rationalitäten bedeuten, hat fix) eine bestimmte Struktur, die sich 

 durch die Formel ausdrückt: 



f(mi (i 1 + ... + m n //„) = »w, /\«,) + . . . + m„ f(fi n ). 



v ) K. Volpi, Sülle funzioni a variabile reale che godono della proprietä distributiva, 

 Giornale di mat. 35 (1897), S. 104—111. 



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