18 Rudolf Schimmack, 



Sind die fi wie im vorhergehenden so gewählt, dafs die Gleichung 



miPi + . . . + m„(/ n = 



nur durch das gleichzeitige Verschwinden aller m befriedigt wird, so kann 

 man die Werte f((t x ), . . ., f(fi n ) einzeln willkürlich vorschreiben und erhält 

 dann eine Funktion, die in dem angegebenen Bereiche von Argumenten die 

 verlangten Eigenschaften hat. Wählt man im besonderen 



fifa) _ _ f(Un) 



fi V» 



so erhält man die stetige Lösung f(x) = C-x; für jede andere Wahl wird die 

 Funktion in der früher geschilderten Weise unstetig. 



§ 11. Auf Grund dieses Satzes hat Herr Volpi (a. a. 0., S. 110 f.) versucht, 



eine unstetige Lösung der Funktionalgleichung für das Kontin uum {x} der 

 Argumente zu konstruieren. Wir wollen in diesem Paragraphen zeigen, 

 daß die dort angegehene Konstruktion unrichtig ist. 



Volpi definiert — wir passeu seine Bezeichnungsweise der hier ge- 

 brauchten an — zunächst eine Funktion für alle Argumente der Form 

 x = m i fi i + . .. + m n /j„, wo n eine bestimmte natürliche Zahl ist, indem er 



festsetzt : 



fix) = m, /"(//,) + • • • + m n f(/j„) 

 und 



Afli) _ q. fißJ = = f(e«) = q, 



("1 H fn 



wo C und C" zwei verschiedene konstante Zahlen bedeuten. Sodann schreibt 

 Volpi vor: Sind x K und x t zwei Zahlen, wovon x, die Form m i (t l + ... + rn n (/„ 

 hat, x 2 aber nicht, so sei f(x 2 ) = C'-x^. Was Volpi für den Fall vorschreibt, 

 daß x v und x t beide nicht in der Form tni/ti + ... + m„/i a enthalten sind, 

 können wir hier außer acht lassen. 



Es läßt sich nämlich jetzt folgender Widerspruch konstruieren: Von 

 zwei Zahlen x u x- 2 sei 



Xi = m L («i + . . . + m„ (t n , 



.i •■, aber nicht in dieser Form darstellbar ; dann ist auch x L + x 2 nicht in dieser 

 Form darstellbar. Die Funktionswerte sind demnach: 



