Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 19 



fU\) = 11h ,"i G + nu (i 2 G' + . . . + m„ p n C, 



f(x-,) =x. l C\ 



f(xi + .r- 2 ) = {xi + x-,) C = m x ,«! C + m 2 fi- 2 C + ... + m n [i n C + x 2 C", 



und diese genügen offenbar nicht der Gleichung 



f(x\) + f(x 2 ) = ffa + #•>), 

 da C^=C sein sollte. 



Wir wollen nun die allgemeine Lösung der Funktional- § 12 

 gleichung für eine beliebig vorgegebene abzählbare Menge 

 von Argunienten bestimmen. 



Wir fixieren die gegebene abzählbare Menge in einer Wohlordnung 

 \x h } = xt, x-2, .... Wir nennen das erste Element /i t und streichen alle 

 Elemente der Form m^i, wo m, eine beliebige Rationalität ist; wir nennen' 

 das nunmehr erste Element (i 2 und streichen alle noch vorhandenen Elemente 

 der Form m i (i i +-m i it i , wo m t und m 2 beliebige Rationalitäten sind; wir 

 nennen das jetzt zuerst stehende Element (i$ usw. Auf diese Weise erhält 

 man eine bestimmte abzählbare (endliche oder unendliche) Menge {(i h ) = (i u /t. 2 , •• 



Mittels dieser Teilmenge {(i h ) ist nun jedes Element unserer Menge 

 x h in der Form 



(t) X h = Mi fti + m- 2 fto + . . . 



darstellbar, wo die m rationale Zahlen bedeuten und nur endlichviele von 

 ihnen von Null verschieden sind. Denn x h muß spätestens nach A-maliger 

 Wiederholung des obigen Auswahlverfahrens darstellbar geworden sein. 

 Die gewonnene Darstellung ist aber auch eindeutig. Wäre nämlich 



i m l fi 1 +m 2 fi2 + ... = m\ ,«, + m\ (i 2 + ..., 



so gäbe es unter den endlichvielen hierin vorkommenden /x ein letztes, 

 sagen wir //■„. für welches m k ^=m v ist; und dieses ^ ließe sich dann mittels 

 der vorhergehenden \i und endlichvieler rationaler m" in der Form 



li k = m'\ fii + m". 2 fi- 2 + ... 



darstellen, was der Definition der [i zuwiderläuft. 



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