20 Rudolf Schimmack, 



Für jedes fi hat nun die Funktion einen bestimmten Wert fQ/). Für 

 jedes x h in der angegebenen Form muß dann nach § 10 der zugehörige 

 Funktion swert die Struktur haben: 



f(x h ) = m x /"(//,) + m 2 f(fi 2 ) + ... 



Sind daher die Werte f(ßi), f(/j 2 ), . . . irgendwie vorgeschrieben, so ist damit 

 die Funktion f(x) in dem ganzen Bereich {x h ) eindeutig definiert. Die so 

 gewonnene Form der Funktion ist aber zur Lösung der Funktionalgleichung 

 nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend. Betrachten wir nämlich 

 zwei beliebige Argumente unseres Bereiches 



x h = m, [i x + m- 2 n-i + ... 

 Xh! = m\ f/ x + m' % ft i + ..., 



• so ist 



x h 4- Xu = (»h + m\)l*i + (m-i + m'. 2 )u 2 + ... 



die Darstellung der Zahl x h + .r v in der vorgeschriebenen Form (f). Es 

 wird somit 



f (.>■/, + 'V) = (rn, + m\)fdi t ) + (m 2 + m' 2 )f(fi 2 ) + ... 



= »», f((Ji) + m. 2 f( { u. 2 ) + . . . + m\ /'(//! ) + m\ f((i 2 ) -f . . . 

 = /•(•'") + /"(■'■/,-)• 



Die Funktionalgleichung ist also in der Tat befriedigt, wie auch die Werte 

 /Oi), fipi), ■ ■ ■ vorgeschrieben sein mögen. 



Wir haben damit die allgemeine Lösung f(x) der Funktionalgleichung 

 in dem Bereiche {xj,}. Wählt man im besonderen 



W = fiMt) = 



so erhält man die stetige Lösung f(x) = C-x. Für jede andere Wahl wird 

 die Funktion in der früher geschilderten Weise unstetig. 



§ 13. Bei dem Verfahren, das wir im vorigen Paragraphen zur Kon- 



struktion der allgemeinen Lösung f(x) für eine abzählbare Menge von 

 Argumenten angegeben haben, wurde von der abzählbaren Menge haupt- 

 sächlich die Eigenschaft benutzt, daß sie wohl ordnungsfähig ist. 



