Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 21 



Xachdem Herr Zermelo bewiesen 1 ), daß jede Menge — also auch das Kon- 

 tinuum der Argumente {x} — eine Wohlordnung gestattet, lag der Gredanke 

 nahe, mit der sukzessiven Bestimmung der /i über das Abzählbare hinaus- 

 zugehen und damit für alle x eine Darstellung in der Form 

 m l // l + m 2 fi-2 + .. . zu gewinnen. Die genauere Ausführung des so an- 

 gedeuteten Gedankens ist zuerst von Herrn Hamel 2 ) angegeben worden. 

 Das Verfahren ist das folgende. 



Das Kontinuum der Argumente {x} sei in bestimmter Weise wohl- 

 geordnet. Wir bilden aus dieser Menge auf folgende Art eine gewisse 

 Teilmenge: Wenn ein x in der Form 



^& v 



x = nii x t + m-ix-i + . . . 



darstellbar ist, wo die m rationale Zahlen und nur in endlicher Anzahl von 

 Null verschieden sind und die x beliebige dem x vorangehende Zahlen be- 

 deuten, so sei dieses x ein Element der Teilmenge; wenn x nicht so dar- 

 stellbar ist, sei x kein Element der Teilmenge. Die so definierte Teilmenge 

 sei in derselben Wohlordnung wie {x) fixiert und heiße {/i\ — n u fi 2 , . . ., ob- 

 schon sie nicht abzählbar ist. Die Festlegung der ersten Elemente von {fi} 

 entspricht genau dem Auswahlverfahren des § 12. 



Wir behaupten jetzt: Mittels der Teilmenge {[i\ ist jedes Element der 

 Menge {x} in der Form 



x = m l (i { + m 2 [i. 2 + ■ ■ ■ 



darstellbar , ivo die m rationale Zahlen bedeuten und nur endlichviele von 

 ihnen von Null verschieden sind. 



Angenommen nämlich es gäbe Zahlen x, die sich nicht in der an- 

 gegebenen Weise darstellen lassen, so müßten diese in unserer Wohlordnung 

 des Kontinuums ein erstes Element x* haben. Dieses x* kann der Teil- 

 menge {(A selbst nicht angehören, ist also nach der Definition von !,</} in 

 der Form 



x* = jw, x { + m 2 x-i + ■ • • 



') E. Zermelo, Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann. 59 

 (1905), S. 514 — 516. 



2 ) in der eingangs (§ 5) zitierten Annalennote. 



