22 Rudolf Schimmack, 



darstellbar, wo die m rationale Zahlen und nur in endlicher Anzahl von 

 Null verschieden sind und die x dem x* vorangehen. Die vorangehenden 

 Elemente x sind aber sämtlich darstellbar in der Form 



x = mj ,w, + m 2 fa + . . . , 



wo die m rational und nur in endlicher Anzahl von Null verschieden sind; 

 also müßte sich auch .<■* durch formales Einsetzen in dieser Form darstellen 

 lassen, und das widerspricht der Annahme. Es sind also alle x des Kon- 

 tinuums \x\ in obiger Weise darstellbar. 



Die weiteren Überlegungen erledigen sich nun genau so wie im 

 vorhergehenden Paragraphen, sodaß wir uns kurz fassen können: Die ge- 

 wonnene Darstellung für die x ist auch eindeutig, und wir erhalten somit 

 den Satz: 



Die allgemeine Lösung f(x) der Funktionalgleichung ist 



/■(•') = «'i /'(,«i) + »»2 fite) + • • • . 



wo die Werte f(fi t ) ; f((ii). • • • beliebig vorzuschreiben sind. Wählt man im 

 besonderen 



so erhält man die stetige Lösung f(x) = C-x. Für jede andere Wahl irird 

 die Funktion in der früher geschilderten Weise unstetig. 



Wir mögen im folgenden der Kürze wegen die allgemeine unstetige 

 Lösung der Funktionalgleichung mit ©(z) bezeichnen. Das 2) soll auf den 

 distributiven Charakter dieser Funktion — wenn man das Funktionszeichen 

 als Operator auffaßt — hinweisen. 



3. Hinzunahme von Nebenbedingungen. 



14. Wir haben bisher von den Lösungen f(x) der Funktionalgleichung 



nichts weiter als Eindeutigkeit verlangt. Bei Anwendungen ist es indes — 

 wie schon bemerkt (§ 6) — bisweilen von Wichtigkeit, wenn f(x) außerdem 

 noch Nebenbedingungen genügt. 



