Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 23 



Inwieweit f(x) durch solche Nebenbedingungen genauer bestimmt sein 

 kann, darüber ist einiges aus den vorhergehenden Sätzen sofort ersichtlich. 

 So z.B.: Soll die Lösung der Funktionalgleich ung stetig sein, so ist not- 

 wendig f(x) = C-.v (§ 7). Durch Hinzunahme eines geeigneten Stetigkeits- 

 postulats wird sich also in den früher angeführten Problemen, wo unsere 

 Funktionalgleichung" auftritt, sofort eine Bestimmung der Lösungen in der 

 Form G-x ergeben. Ferner: Soll die Lösung der Funktionalgleichung" in- 

 tegrabel sein, so ist notwendig f(x) = C-x (§ 8). Soll die Lösung der 

 Funktionalgleichung nicht in der ganzen Ebene überalldichte Darstellungs- 

 punkte haben, so ist notwendig fix) = C-x (§ 9). In dem letzteren Satz 

 ist als ganz spezieller Fall der folgende enthalten: Soll die Lösung der 

 Funktionalgleichung für positive Argumente nur positiv sein, so ist not- 

 wendig f(x) = G-x. Dies ist die Nebenbedingung, mittels deren es Darboux 

 gelang, den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie ohne 

 Hinzunahme eines Steti°"keitsaxioms zu beweisen. 



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Bei der axiomatischen Kritik des Beweisganges der Vektoraddition § 15. 

 wird es sich weiterhin um die folgende Nebenbedingung handeln: 



f(x) mufs jeden Zahlenwert ein- und nur einmal annehmen, ohne 

 doch von der Form C-x zu sein. 



Von der Erfüllbarkeit dieser Nebenbedingung hängt nämlich die 

 Beantwortung der Frage ab, ob bei der Herleitung der Vektoraddition ein 

 Stetigkeitsaxiom notwendig ist oder nicht. Es genügt dazu noch nicht der 

 Nachweis, daß unstetige Lösungen der Funktionalgleichung überhaupt 

 existieren 1 ). Gäbe es keine solchen, die zugleich der Nebenbedingung ge- 

 nügen, so wäre die Vektoraddition ohne (!) Stetigkeitsaxiom abzuleiten. 



Nun, die Nebenbedingung ist in der Tat erfüllbar. Die Wahl der 

 Fuuktionswerte f([i\), f(i*i), ■ ■ ■ wird zu dem Zweck geeignet einzuschränken 

 sein; die Nebenbedingung ist ja z. B. sicher nicht erfüllt, wenn man vor- 

 schreibt: 



f(p x ) = i; f((i) = o für alle übrigen (i. 



Die Nebenbedingung ist dagegen — so behaupten wir jetzt ■ — erfüllt in 

 dem folgenden Beispiel: 



1 ) entgegen einer Bemerkung von Herrn Hamel. Math. Ann. 60 (1905), S. 459. 



