Zweiter Abschnitt. 



Weiteres über Funktioiialgleicliuiigeii. 



Es erscheint von Interesse, an das Studium der Funktionalgleichung 

 des vorhergehenden Abschnitts einige weitere Betrachtungen über Funktional- 

 gleichungen anzuschließen. 



1. Die Funktionalgleichung f{x + x') — afix) + bfix') + c. 



Als eine naheliegende Verallgemeinerung der zuvor behandelten § 16. 

 mögen wir zunächst die Funktionalgleichung 



fix + x 1 ) = af(sc) + lf(tf'+c 



untersuchen, worin a, b, c gegebene Konstanten bedeuten. 



Zur Lösung dieser Funktionalgleichung bilden wir die Funktion für 

 ein Argument der Form x, + x 2 + x 3 und erhalten : 



f(x, + x, + x 3 ) = af(x l + x-i) + b f(x 3 ) + c 



= a* f( Xi ) + a b f(x 2 ) + b fix,) + ac + c. 



Dieser Ausdruck darf sich nicht ändern, wenn man irgend zwei der x ver- 

 tauscht. Sind nun die Koeffizienten der drei Ausdrücke f(x t ), f{x 2 ), f{x 3 ) 

 nicht einander gleich, ist also nicht zugleich 



a 2 = ab = b, 



so kann man durch Vertauschung zweier x sofort ableiten, daß f(x) konstant 

 sein muß. Ist nämlich z. B. a- =j= a b, so ergibt sich 



a? f{x, ) + abf(x 2 ) + b f(x 3 ) + ac + c = a?- f{x 2 ) + ab fix, ) + b f(x 3 ) + ac + c, 



somit 



(a 2 — ab)f(xi) = (a 2 — ab)f{x-i), 



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