26 Rudolf Schimmack, 



und daraus folgt f{.r { ) = f(x 2 ) oder f(x) = const. Und in entsprechender 

 Weise für die beiden übrigen Möglichkeiten. 



Setzt man jetzt f(x) = C in die ursprüngliche Funktionalgleichung 

 ein, so erhält man 



C = aC + bC + c, 

 oder 



C(l— a — b) = c, 



worauf die Bestimmung von C aus den gegebenen Konstanten leicht zu 



diskutieren ist. 



Es bleibt noch der Fall zu behandeln, daß gleichzeitig 



aP- = ab = b 



ist, was nur möglich ist, wenn entweder a = b = o oder a — b — 1. Im 

 Falle a = b = o folgt aus der ursprünglichen Funktionalgleichung sofort, 

 daß f(x) gleich der Konstanten c sein muß. Im Falle = 6 = 1 hat man: 



fQc + af) = m + fW + c 



oder, wenn man f(x) + c = /j (x) setzt : 



fi& + af) = f t (■<) + fr (x'). 



Die Funktion /", (r) ist daher nach § 13 entweder = Cx oder = 3)(.r), also 

 fOr) entweder = Cx — c oder = S) (.•<■) — c. 



Indem wir die betrachteten Fälle geeignet zusammenfassen, 

 können wir formulieren: 



1. Wenn nicht a = b = 1, so i'si /"(#) = C, wo C(i — a — 6) = c 

 sem jwu/ä, rfa'e Lösung der betrachteten Funktionalgleichung ; 



2. Wenn a = b = 1, so smcZ /"(*) = Cx- — c wwrZ f(x) = ©(#) — c, 

 wo C und 2)(a;) beliebig, die Lösungen der betrachteten Funktionalgleichung. 



§ 17. Das Mitgeteilte kann in einfacher Weise benutzt werden, um eine 



Funktionalgleichung eines gewissen Typus zu konstruieren, die eine 

 beliebige vorgelegte Funktion, bezw. auch eine vorgelegte 

 Funktionsschar zur einzigen Lösung hat. 



