Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 27 



Soll g{x) die einzige Lösung einer Funktionalgleichung- sein, so 

 bildet man 



fi(%) = f{x)—g{x) 



und stellt für f (x) die Funktionalgleichung des vorhergehenden Paragraphen 

 auf, indem man verlangt, es sei c = 0, a + b=\= l, und nicht a — i = l. 

 Die gesuchte Funktionalgleichung heißt dann also: 



f (s + #<) = « (f (*) — # (x)) + 6 (f (#) — g {x')) —g(x + x'). 



Soll g (x, C) die einzige Lösungsschar einer Funktionalgleichung sein, 

 so setzt man f(x) = g(x.,C), löst dies wenn möglich nach C auf: C — G(x,f{x)), 

 ersetzt C durch f (#) und bildet für dieses f, (x) die Funktionalgleichung des 

 vorigen Paragraphen, indem man wählt c — o und « + = 1, worauf von selbst 

 nicht a = i = 1 sein kann. Alsdann lautet die gesuchte Funktionalgleichung: 



G (x + x\ f(x + x')) = aG(x, f{x)) + bG (x\ f(x% 

 oder 



f{x + x 1 ) = g (x + x\ j a 6? (s, f(x)) + i G (x\ fix 1 )) j) ; 



sie hat in der Tat zur einzigen Lösung, daß G(x,f(x)) gleich einer will- 

 kürlichen Konstanten C ist. Um z. B. eine Funktionalgleichung zu bilden, 

 deren Lösung f in graphischer Darstellung die Gerade y = x und ihre 

 sämtlichen Parallelen bedeutet, setzt man f(x) = x + C, also /", (a;) = /"(«) — x\ 

 und die Funktionalgleichung lautet: 



f (x + x 1 ) —(x + x 1 ) = a (f(x) — x) + l {f{x') — x) 



oder, wenn man etwa noch « = &'=£ nimmt: 



fix + X ') = ±f(x) + ±f(af) + i (X + 35'). 



Enthält die Funktion £(#), bezw. gf(a;,0) irgendwo isolierte Unstetig- 

 keitsstellen, so wird man bei diesem Verfahren eine Funktionalgleichung 

 erhalten, in der die gegebenen Funktionen ebenfalls derartige Unstetigkeiten 

 aufweisen. Weiter unten werden wir sehen, in welcher Weise Funktional- 

 gleichungen stellenweis unstetige Lösungen haben können, ohne selber 



unstetige Funktionen als gegebene zu enthalten. 



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