28 Rudolf Schimmack, 



2. Der Zusammenhang vier fundamentaler Funktionalgleichungen. 



§ 18. Wir betrachten jetzt vier fundamentale Funktionalgleichungen in 



ihrem Zusammenhange, deren Nebencinanderstellung aus Symmetriegründen 

 nahe liegt: 



(1) fix + x') = fix) + f\x') 



(2) fix + x 1 ) = fix) ■ f{x') 



(3) fix • x') = fix) + f(x l ) 



(4) fix ■ x 1 ) = fix) • fix'). 



Diese Funktionalgleichungen finden sich schon bei Cauchy in seinem Cours 

 d'analyse 1 ) zusammengestellt und unter Voraussetzung der Stetigkeit der 

 Funktionen fix) gelöst. Wir lassen diese Annahme hier fallen. 



Die Funktionalgleichung (1) haben wir im ersten Abschnitt unter 

 sehr allgemeinen Voraussetzungen, die in § 6 präzisiert sind, ausführlich 

 studiert. In den drei folgenden Paragraphen betrachten wir unter denselben 

 Voraussetzungen die Funktionalgleichungen (2), (3), (4), indem wir sie auf 

 (1) zurückzuführen suchen. 



§ 19. (2) fix + x 1 ) = f(x)- fix 1 ). 



Eine Lösung der Funktionalgleichung (2) kann keinen negativen 

 Funktionswert haben ; denn wäre an einer Stelle x a etwa fix ) < 0, so folgte 

 für x = x' = \x* sofort fix^) = (/\?#o)) 2 > d. h. f(jx a ) könnte nicht reell sein. 

 Ist ferner an einer Stelle x etwa f(x ) = 0, so folgt f(x + xo) = /V)-0; d. h. 

 es muß sein: 



(5) fix) = 0. 



Sehen wir von dieser trivialen Lösung zunächst ab, so ist fix) für 

 alle x positiv, und wir können daher unbeschadet der Allgemeinheit 

 a lg fix) = fix) setzen, wo a eine willkürliche positive Zahl bedeutet. Dann wird: 



f ix + x') = "lg fix + x') = "lg (fix) -fix')) = "lg fix) + "lg fix') = f ix) + f (x 1 ) ; 



') Cauchy, Cours d'analyse, 1 Analyse algiibrique, Paris 1821, S. 103 — 113; Oeuvres 

 completes, 2. ser. 3, Paris 1897, S. 98—105. 



