Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 29 



d. h. /i (x) muß Lösung- der Funktionalgleichung (1) sein, also nach § 13 

 entweder = Cr oder = £)(.«). Das ergibt einerseits f(x) = a Cx = a^ oder 



(6) f(x) = a', 



wo ß eine willkürliche Zahl > 0, und andererseits: 



(7) f(x) = a*<*\ 



wo a eine willkürliche Zahl > 0. 



Die Funktionen (5), (6), (7) sind die einzigen Lösungen der Funktional- 

 gleichung (2). Die beiden ersten geben totalstetige, die letzte gibt totalunstetige 

 Lösungen an. 



(3) f(x.x-) = m + fix 1 ). § 20. 



In der Funktionalgleichung (3) ergibt sich für x' = sofort f(ö) 

 = f(x) + f(0); daraus folgt, da f(0) endlich sein sollte, 



(8) m = o. 



Dieses ist unter den angegebenen Voraussetzungen die einzige Lösung. 



Wir mögen hier indes — weil wir es im folgenden benutzen werden — 

 auf das Endlichsein der Lösung an der Stelle x = o verzichten und wollen 

 nur für alle x 4= Erfüllung der Voraussetzungen verlangen. 



Alsdann ist für x = x' sofort f(x' 2 ) = 2f(x), und wenn man darin x 

 durch — x ersetzt: f(x-) = 2f( — x), sodaß f(—x) = f{+x) sein muß. Man 

 könnte daher statt f(x) überhaupt f(\x\) schreiben. Setzt man nun \x\ = a§, 

 wo a eine von Eins verschiedene, aber sonst willkürliche positive Zahl be- 

 deutet, so ist damit jedem x =(= eine Zahl g zugeordnet, und es wird also 

 f(\x\) = f(a%) eine Funktion von g. Für diese Funktionen /", (g) wird: 



/".(£ + SO = A« l+I ') = ftat-aß) = ftaß) + f(a?) = fi (g) + /i (gO 5 



d. h. /l(g) muß Lösung der Funktionalgleichung (1) sein, also entweder 

 fiiS) = Cg oder /i(g) = S)(g). Das ergibt, da g = a lg\x\ ist, einerseits 

 f{x) = C-"lg\x\ oder, was nicht spezieller ist, fix) = a lg\x\, und anderer- 

 seits /*(./;) = 2)(% \x\). 



