30 Rudolf Schimmack, 



In dem angeführten Sinne treten also zu der Lösung (8) der Funktional- 

 gleichung (3) noch die folgenden Lösungen hinzu: 



(9) f(x) = Hg\x\ | wo a eine willkürliche Zahl 



(io) f(x) = ®{Hg\x |)J >o, +i. 



Die Funktion (8) ist die totalstetige Lösung der Funktionalgleichung (3) 

 für alle x; (9) gibt die Lösungen, die für alle x =j= o stetig sind und bei 

 x = o „unendlich werden": (10) gibt für alle x=^0 die totalunstetigen Lösungen. 



§ 21. W /W) = fix)- fix'). 



In der Funktionalgleichung (4) ergibt sich für x' = o sofort 

 /■(0) = f(x)-f(0); falls also f(ö) 4= ist, muß 



(11) fix) = 1 



sein, was eine erste spezielle Lösung der Funktionalgleichung ist. Ab- 

 gesehen von dieser ist also notwendig /'(0) = 0. Macht man ferner die 

 Annahme, an einer von Null verschiedenen Stelle x' = x sei /"(*u) = 0, so 

 folgt f(x-x ) = f(x)-O = O oder, da x-x jeden Zahlenwert annehmen kann, 



(12) f(x) = 0, 



was eine zweite spezielle Lösung der Funktionalgleichung ist. Sehen wir 

 auch von dieser besonderen Lösung ab, so ist also fix) an der Stelle x = 

 und nur dort gleich Null. 



Wir untersuchen nun f(x) für alle x 4= o. Für diese können wir 

 setzen b lg\f(x)\ — fy{x), wo b eine von Eins verschiedene, aber sonst will- 

 kürliche positive Zahl bedeutet. Dann wird: 



f t (x-x') = "lg \f(x-x')\ = Hg \f(x)-f(x')\ = Hg \f(x)\+Hg \f{x')\ == f x {x) + f Y ^); 



d. h. die für x 4= definierte Funktion f, (x) muß Lösung der Funktional- 

 gleichung (3) sein, also entweder f x {x) = oder /; (x) = Hg \ x | oder f x {x) 

 = 25C%|#|), wo a eine willkürliche Zahl > 0,4=1 bedeutet. Das ergibt 

 die drei Möglichkeiten: 



\f(x)\ = 1; \f(x)\ = \z\'\ \f(x)\ = &»(•*» 1*1). 

 wo c = Hgb eine von Null verschiedene, sonst willkürliche Zahl bedeutet. 



