Aromatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 31 



Es bleibt nocb das Vorzeichen von fix) zu untersuchen. Nimmt man in 

 der Funktionalgleichung x' = x, so ist fix" 1 ) = (fix)) 1 , d. h. fix) ist für posi- 

 tive Argumente stets positiv. Seien sodann x { und x 2 zwei negative 

 Argnmente und nehmen wir an, es sei f{x x ) > o, fix 2 )<0, so wäre 

 fix^-fix.,) < 0; andererseits aber wäre x l x 2 >0, also f(xix. 2 )>0; und daher 

 könnte die Funktionalgleichung nicht erfüllt sein, fix) muß also entweder 

 für alle (!) negativen Argumente > oder für alle (!) negativen Argumente 

 < sein. 



Hiermit können wir jetzt für alle x =j= die Funktionen fix) bestimmen. 

 Nehmen wir noch den Wert /"(0) = hinzu und benutzen zur bequemeren 

 Schreibweise die Funktion 



| = + 1 f ür x > 



sgn x < = f ür x = 



I = — 1 f ür x < 0, 



so ergeben sich zu den früheren Lösungen (11) und (12) der Funktional- 

 gleichung (4) noch die folgenden: 



(13) fix) = |sgna;| 



(14) fix) = sgn x 



(15) fix) { ~ L füra;==oJ woc e * ne willkürliche Zahl =4=0, 



(16) fix) { = fül . ^ ^ } wo c eine willkürliche Zahl 4= 0, 



„ |= &®(°^M)für <r=hol wo «, 6 willkürliche Zahlen 



(17) ^{=0 für, = 0j >0,+l, 



| = sgn x-b^ al s\ x ^ für z 4= o| wo a, 6 willkürliche Zahlen 

 f(x) [= für* = o) > 0,4=1. 



Die Funktionen (11) bis (18) sind sämtlich Lösungen der Funktional- 

 gleichung (4) und zivar die einzigen. Die Lösungen (17) und (18) sind 

 totalunstetig ; die Lösungen (11) und (12), soivie (15) und (16), falls c > 0, 

 sind totalstetig. Die übrigen Lösungen sind stetig bis auf die eine Stelle 

 x = 0, xco' sie einen endlichen oder unendlichen Sprung aufweisen. 



