32 Rudolf Schimmack, 



3. Über den Charakter der Lösungen gewisser Funktionalgleichungen. 



§ 22. Die Ergebnisse der vorhergehenden Paragraphen legen die Frage 



nahe, welches der innere Grund dafür ist, daß die betrachteten Funktional- 

 glcichungen zum Teil nur totalstetige und totalunstetige Lösungen besitzen, 

 zum Teil aber außerdem noch andere Lösungen, die im allgemeinen stetig 

 und nur an einzelnen Stellen unstetig sind. 



Über diese Erscheinung können wir uns Rechenschaft geben, indem wir 

 zunächst einen allgemeinen Satz über die Funktionalgleichungen 

 der folgenden Form beweisen: 



a v ,( X ,x')) = n>{m, f{x-)), 



wo <p(x,x') und xf)(x,x') gegebene Funktionen sind, f(x) die gesuchte Funktion 

 bedeutet. Wir setzen voraus: x und x' seien unbeschränkte stetige Variable, 

 (p und tp seien je als Funktionen des einen Arguments — für jeden kon- 

 stanten Wert des anderen Arguments ■ eindeutig, totalstetig und von ein- 

 deutiger totalstetiger Umkehrung. Dann gilt der Satz: Eine Lösung f(x) 

 einer solchen Funktionalgleichung kann nur enhveder totalstetig oder total- 

 unstetig sein. 



Zum Beweis machen wir die Annahme, f{x) sei an der Stelle x = x ü 

 stetig, an der Stelle x = x t unstetig. Wir überzeugen uns zunächst, daß 

 sich zwei Zahlen h , h t einander zuordnen lassen, für welche 



<p(x + h, x y ) = <p(x , x { +h x ) 



wird. Bezeichnet man nämlich die Umkehrung von <p nach dem ersten 

 Argument mit 0, so ist 



Xo + h a = #(<p(.r ,2i + &,), Xi), 



x () = #(g>Oo! #i) , ''i)> 



also 



h = # (<p (x , x x + /*,), x, ) — ^ (cp {x , x t ), Xi ). 



Damit ist in der Tat zu jedem /;, ein h n von der angegebenen Eigenschaft 

 bestimmt, und man erkennt zugleich auf Grund der Voraussetzungen über 

 9> und <P: zu jedem positiven A gibt es ein solches positives <5, daß \h 6 \<A 

 wird für alle h u deren |Aj|<d ist. 



