Asiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 33 



Bilden wir jetzt die Funktionalgleichung einerseits für x = % + h , 

 x' = x v , andererseits für x = x ü , x' = x x + Jh , so folgt : 



ip{f(xo + h ), f(xO) = rp{f(x ü ), fiXi+ht)). 



Hieraus ergibt sich, indem wir die Umkehrung von rp nach dem zweiten 

 Argument mit ¥ bezeichnen: 



?p(/^o), n> iffa + h), ffa))) = m + *i) 



oder wenn wir die Identität 



subtrahieren : 



V(fM,V>(f(to + h), A^))) — P(/^),*(ffo)> /(*.))) = ffa + hd—ffa)- 



Wir mögen die linke und rechte Seite dieser Gleichung bezüglich mit L 

 und R bezeichnen. 



Da nun x l eine Unstetigkeitsstelle von f(x) sein soll, so gibt es ein 

 solches positives e, daß für gewisse h u deren Betrag beliebig eingeschränkt 

 werden kann, immer |iü|>£ bleibt. Andererseits gibt es aber auf Grund 

 der Voraussetzungen über ip und ¥ zu dem s ein solches positives A, daß 

 | L [ < e wird für alle h , deren \h \> A ist ; d. h. nach dem obigen : es gibt 

 zu e ein solches positives 6, daß |£|<e wird für alle h t , deren |7*i|<tf ist. 

 Die Ausdrücke L und B können daher unmöglich einander gleich sein. 



Hier ist der Widerspruch, auf dessen Herleitung es ankam. Es kann 

 somit bei den gemachten Voraussetzungen über <p und ip nicht zwei Stellen 

 x , Xi der bezeichneten Art geben. Eine Lösung fix) der Funktionalgleichung 

 muß also entweder totalstetig oder totalunstetig sein. 



Der im vorhergehenden Paragraphen bewiesene Satz gestattet eine § 23. 

 Erweiterung, die gerade für das Folgende wichtig ist. Die Funktionen 

 <p und ip brauchen nicht vollständig (!) die angeführten Voraussetzungen zu 

 erfüllen. 



1. Es kann sein, daß ip die Voraussetzungen an einzelnen Stellen 

 x = x* oder x' = x* nicht erfüllt. Wenn in diesem Falle jedoch irgendwie 

 zu erschließen ist, daß f(x) diese Werte x* nicht als Funktionswert annehmen 



Nora Acta XC. Nr. 1. 5 



