34 Rudolf Schimmack, 



kann, so läßt sich offenbar der obige Beweis ganz ebenso führen; und damit 

 gilt dann der angegebene Satz ungeändert. 



2. Es kann sein, daß <p die Voraussetzungen an einzelnen Stellen 

 x = x* oder x' = x* nicht erfüllt. Betrachtet man in diesem Falle ein 

 Intervall X, das die Stellen x* ausschließt, so läßt sich offenbar der obige 

 Beweis für alle Zahlenpaare x , x x innerhalb X genau ebenso führen; und 

 damit gilt dann unser Satz in der Form: Eine Lösung f(x) kann innerhalb 

 X nur entweder totalstetig oder totalunstetig sein. 



Ein Zusammentreffen der beiden aufgezählten Möglichkeiten ist er- 

 sichtlich leicht zu diskutieren. 

 § 24. Wenden wir jetzt unseren Satz, wie zu Beginn des § 22 angekündigt, 



auf die früher (§ 18 bis 21) betrachteten fundamentalen Funktional- 

 gleichungen an. 



In der Funktionalgleichung (1) ist <p = x + x', ip — x + x'. Da diese 

 Funktionen den Voraussetzungen offenbar für unbeschränkte Argumente 

 genügen, so hat die Funktionalgleichung (1) nur totalstetige und total- 

 unstetige Lösungen. 



In der Funktionalgleichung (2) ist <p = x + x', ip = x-x'. Hier ge- 

 nügt <p den Voraussetzungen für unbeschränkte Argumente; ip erfüllt die 

 Voraussetzungen mit Ausnahme der Stelle x = o bei beliebigen x', bezw. 

 x' = bei beliebigen x, indem dort keine stetigen Umkehrungen möglich 

 sind. Da die Lösungen f(x) indes, wenn man von f(x) = absieht, den 

 Funktionswert Null nicht annehmen können, so sind nach § 23 nur noch 

 totalstetige und totalunstetige Lösungen möglich. In der Tat haben die in 

 § 19 gefundenen Lösungen diese Beschaffenheit. 



In der Funktionalgleichung (3) ist <p = x-x\ ip = x -f x'. Hier ge- 

 nügt ip den Voraussetzungen für unbeschränkte Argumente, cp erfüllt die 

 Voraussetzungen mit Ausnahme der Stelle x = o, bezw. x' = o. Die 

 Lösungen der Funktionalgleichung (3) brauchen daher nach § 23 nur in 

 jedem Intervall, das x = o ausschließt, totalstetig oder totalunstetig zu sein. 

 In der Tat gibt es nach § 20 eine Lösung, die für alle x =j= o stetig ist, 

 aber bei x = o unstetig wird. 



In der Funktionalgleichung (4) ist <p = x-x', ip = x-x'. Hier genügen 

 beide Funktionen den Voraussetzungen mit Ausnahme der Stelle x = o, 



