Axiomarische Untersuchungen über die Vektoraddition. 35 



bezw. x' = o. Da nun die Lösungen, wenn man von f(x) = absieht, an 

 von o verschiedenen Stellen nicht o sein können, so sind sie nach § 23 in 

 jedem Intervall, das x = o ausschließt, entweder totalstetig- oder totalunstetig; 

 die Stelle x = o ist die einzige, wo eine isolierte Unstetigkeit auftreten 

 kann. In der Tat gibt es nach § 21 neben totalstetigen und totalunstetigen 

 Lösungen noch solche, die bei x = o unstetig, im übrigen aber totalstetig sind. 



Der in § 22 bewiesene Satz läßt sich, wie man unschwer erkennt, § 25. 

 auf Funktionalgleichungen der Form 



f(cp (x, x')) = ip (f(x), fix 1 ), x, x') 



ausdehnen, wenn über ip als Funktion von vier Argumenten entsprechend 

 erweiterte Voraussetzungen gemacht werden. Von hier aus können wir zu 

 der Betrachtung des § 17 über die Konstruktion von Funktionalgleichungen 

 mit vorgegebenen Lösungen noch folgendes bemerken: Während bei dem 

 dort mitgeteilten Verfahren Un Stetigkeiten der Lösungen sofort Unstetigkeiten 

 in den gegebenen Funktionen der Funktionalgleichung zur Folge hatten, 

 bedeutet unser erweiterter Satz einen Wegweiser, um Funktionalgleichungen 

 zu finden, die stellenweis unstetige Lösungen haben, ohne selber unstetige 

 Funktionen als gegebene zu enthalten. 



Schließlich mag noch einem kleinen Ausblick Raum gegeben sein. 

 Analog wie man Differentialgleichungen zur Definition von Funktionen be- 

 nutzen und auf Grund ihres Studiums, von einfacheren zu komplizierteren 

 Differentialgleichungen fortschreitend, eine Systematik der Funktionen 

 aufbauen kann, entsprechend läßt sich bei den Funktionalgleichungen ver- 

 fahren. Die Zusammenstellung der Funktionalgleichungen des § 18 kann 

 beispielsweise als Anfang eines derartigen Aufbaues gelten. Mit Hülfe der 

 einfachen Funktionen x + x' und x-x' gewinnt man die stetigen Funktionen 

 Cx, a x , \x\ c für c>0 usw.; daneben aber erscheinen alsbald auch isoliert 

 unstetige Funktionen wie sgn x, \x\ c für c < o, und überdies totalunstetige 

 Funktionen wie SD Cr). In der Tat ist die hier angedeutete Methode, die 

 keinerlei einschränkende Voraussetzungen über Differenzierbarkeit, über 

 Stetigkeit zu machen braucht, für einen systematischen Aufbau der Funktionen 

 als sehr umfassend zu bezeichnen. 



