38 Rudolf Schimmack, 



2. Folgerungen aus den ersten fünf Axiomen. 



§ 28. Indem wir in den Darboux sehen Beweisgang eintreten, leiten wir 



zunächst zwei Sätze aus I. II allein ab. 



Satz lj. Haben zivei Komponenten, von denen mindestens eine von 

 Null verschieden ist, nicht verschiedene Richtungslinie, so ist die Richtungslinie 

 der Resultante auch nicht davon verschieden. 



Führt man nämlich eine beliebige starre Drehung um die Richtungs- 

 linie der Komponenten als Achse aus, so bleiben die Komponenten ungeändert; 

 nach I muß daher die Resultante auch ungeändert sein. Läge aber die 

 Resultante außerhalb der Achse, so bliebe sie nach II bei der Drehung 

 nicht ungeändert. 



Satz 1 2 . Sind beide Komponenten Null, so ist die Resultante Null: 



0*0 = 0. 



Führt man nämlich eine beliebige starre Drehung um den Anfangs- 

 punkt aus, so bleiben die Komponenten ungeändert; nach I muß daher die 

 Resultante auch ungeändert sein. Wäre die Resultante aber von Null ver- 

 schieden, so bliebe sie nach II bei der Drehung nicht ungeändert. — Durch 

 Hinzunahme von III folgt: 



Satz 2. Die Resultante ziveier entgegengesetzt gleicher Vektoren ist Null: 



a * — a = . 



Nämlich nach l a und I existiert eine reelle Zahl x, sodaß a * — a = xa 

 ist. Führt man nun eine starre Drehung von 180° aus, um eine Senkrechte 

 zur Richtungslinie der Komponenten als Achse, so ergibt sich nach II: 

 — a*a = — xa. Auf Grund von III folgt daher: xa = —xa, und das 

 ist nur möglich für x =0; denn der Fall a = kann, da er in 1 3 erledigt 

 ist, als ausgeschlossen gelten. 



§ 29. Wir ziehen jetzt Axiom IV hinzu; dann lassen sich alsbald drei 



weitere Sätze ableiten. 



Satz 3 : . Wenn die Resultante ziveier Vektoren Null ist, so haben 

 entweder die Komponenten nicht verschiedene Richtungslinie, oder die Kom- 

 ponenten ergeben, einzeln mit Null verknüpft, Null. 



