Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 39 



Sei vorausgesetzt a * b = 0, so betrachten wir zum Beweise den 

 Vektor — «*(«*&) = — a * . Dieser ist andererseits auch 



= ( — a * a) * b nach IV 

 =0*&=&*0 nach 2 und III. 



Nun haben b * und b nach 1 L und 1 2 nicht verschiedene Richtungslinie, 

 also — a * und b haben nicht verschiedene Richtungslinie. Ebenso haben 

 aber — a*0 und — a nach lj und 1 2 nicht verschiedene Richtungslinie. 

 Hieraus folgt eine der beiden Möglichkeiten: Entweder ist — a*Q = und 

 somit ö*0 = und auch «*0 = nach II; oder es haben — a und b 

 nicht verschiedene Richtungslinie und somit auch a und b. Damit ist 

 Satz 3 a bewiesen. 



Satz 3 2 . Die Resultante zweier Vektoren von verschiedener Richtungs- 

 linie gibt entweder , mit Null verknüpft, Null oder liegt in der Ebene der 

 Komponenten oder senkrecht zu ihr. 



Seien a. b die Komponenten verschiedener Richtungslinie, a * b = c 

 ihre Resultante, und heiße ab die Ebene, welche a, b in sich enthält. 

 Betrachten wir dann den Vektor 



— a * — b = c', 



so ist 



c * c' = («*&)*( — « * — &) 



= (a * ■ — a) * (& * — b) nach IV und III 

 = 0*0 = nach 2 und l x . 



Mithin ist nach 3j entweder c*0 = 0, oder c und & haben nicht ver- 

 schiedene Richtungslinie. Während die erstere Möglichkeit offen bleibt, 

 verfolgen wir die zweite weiter. Wir führen mit dem Tripel — a, — b, c' 

 eine starre Drehung von 180° aus, um die Senkrechte zur Ebene ab im 

 Anfangspunkt. Dabei geht — a in a über, —b in b, und & in einen 

 Vektor c", dessen Richtungslinie spiegelbildlich zur Richtungslinie von c 

 in bezug auf ab liegt. Nach II ist also a * b = c" und somit nach I: 

 e" = e. Die Richtungslinie von c kann indes mit ihrem Spiegelbilde nur 

 zusammenfallen, wenn sie entweder in ab oder \_ab liegt. Damit ist 3 2 

 vollständig bewiesen. 



