40 Rudolf Schimmack, 



Satz 3 3 . Haben zwei Komponenten verschiedene Richtungslinie, so 

 ist entweder die Richtungslinie der Resultante von beiden verschieden, oder 

 eine der Komponenten ergibt, mit Null verknüpft, Null. 



Seien a, b die Komponenten verschiedener Richtungslinie (also 



a 4= 0, b 4= 0) und a * b = c. Angenommen , es haben b und c, oder also 



— b und c nicht verschiedene Richtungslinie, so haben nach l t auch c* — b 



und — b , oder also c * — b und b nicht verschiedene Richtungslinie. Es 



ist aber 



c * — b = {a * b) * — b = a * (b * — &) nach IV 



= a * nach 2. 



Es haben somit auf Grund unserer Annahme a * und b nicht verschiedene 

 Richtungslinie. Nun haben nach 1^ stets a * und a nicht verschiedene 

 Richtungslinie. Also muß entweder a * = sein oder a und b nicht 

 verschiedene Richtungslinie haben. Das letztere ist indes nach Voraussetzung 

 unmöglich. Damit ist bewiesen: Entweder haben b und c verschiedene 

 Richtungslinie oder es ist a * = 0. Entsprechend läßt sich zeigen : Ent- 

 weder haben a und c verschiedene Richtungslinie oder es ist b * = 0. 

 Beides zusammen ergibt den obigen Satz 3 3 . 



§ 30. Durch Hinzunah me von Axiom V nehmen die drei soeben ab- 



geleiteten Sätze eine wesentlich einfachere Form an. Die Sätze 3 1; 3 2 , 3 3 

 gehen bezüglich in 4 ]( 4 2 , 4 3 über. 



Satz 4, (Umkehrung von 2). Wenn die Resultante zweier Vektoren 

 Null ist, so sind die Komponenten entgegengesetzt gleich. 



Sei nämlich a * b = 0, so folgt genau so wie beim Beweise von 3 X 

 die Gleichung — « * = &*0. Daraus ergibt sich mittels V sofort: — a = b. 



Satz 4 2 . Die Resultante zweier Vektoren von verschiedener Richtungs- 

 linie liegt in der Ebene der Komponenten. 



Zunächst folgt nämlich ebenso wie bei Ableitung von 3. 2 die Gleichung 

 c * c' = 0. Hieraus ergibt sich jetzt aber nach 4^: & = — c. Führen wir 

 nunmehr mit dem Tripel — «, — b, — c eine starre Drehung von 180° aus, 

 um die Senkrechte zur Ebene ab im Anfangspunkt, so geht —am a über, 

 — b in b, und — c in einen Vektor c", der selber (!) spiegelbildlich zu c in 

 bezug auf ab liegt. Nach II ist also: a*b = c" und somit nach I: c" = c; 



