Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 41 



die Kesiütante c kann mit ihrem Spiegelbild indes nur zusammenfallen, 

 wenn sie nicht außerhalb ab liegt; d. h., da nach 4j sicher c 4=0 ist: wenn 

 sie in ab liegt. 



Satz 4 3 (Umkehrung von 1,). Haben zwei Komponenten verschiedene 

 Richtungslinie, so ist die Richtungslinie der Resultante von beiden verschieden. 



Dies folgt jetzt sofort aus 3 3 , da die Möglichkeiten «*0 = oder 

 ft*0 = 0, von denen der Satz spricht, durch Hinzunahme von V aus- 

 geschlossen werden. 



Ohne Hinzuziehung eines neuen Axioms läßt sich nun ein § 31. 

 weiterer wichtiger Satz ableiten, dessen Ableitung als Kernpunkt des 

 Darboux sehen Beweises anzusehen ist. Wir formulieren ihn am Schluß 

 des Paragraphen. 



Seien a t} a 2 zwei Vektoren verschiedener Richtungslinie, um deren 

 Zusammensetzung es sich handeln soll, so konstruieren wir einen Hülfs- 

 vektor « 3 , der _Lct,ct 2 steht (einerlei nach welcher Seite) und die Länge 1 

 hat. Dann sind die drei partiellen Resultanten 



«12 = «1 * «2, «23 = «2 * <*3> du = «3 * «1 



nach 4j von Null verschieden und liegen nach 4 2 bezüglich in den Ebenen 



«,« 2 , «2 «3- «3«,- Und nach denselben Sätzen ist die totale Resultante 

 aller drei Vektoren, die nach III und IV gleich 



CT, 2 * CT 3 = CT 2 3 * «i = «3i * «2 



ist, von Null verschieden und liegt gleichzeitig in den drei Ebenen ct 12 ct 3 , 

 «23«], «31 «2 ; also schneiden sich diese drei Ebenen in einer Geraden. 



Hiermit sind alle Voraussetzungen dafür erfüllt, daß folgende be- 

 kannte Formel gilt: 



sin «| ct, 2 • sin « 2 CT 23 • sin ct 3 « 3 , = sin «, 2 CT 2 • sin « 23 « 3 • sin « 31 CT t 



(die man leicht mittels des Sinussatzes der sphärischen Trigonometrie veri- 

 fizieren kann). Dabei bedeutet ab den von «, b eingeschlossenen nicht- 

 konvexen Winkel, positiv oder negativ genommen, je nachdem die Drehung 

 von « durch den Winkelraum nach b mit dem in der Ebene festgelegten 



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