Axiomatisclie Untersuchungen über die Vektoraddition. 43 



Alsdann läßt sich der eben gewonnene Satz so aussprechen: Konstruiert 

 man zu a,, a 2 die konjugierten Vektoren a\, a\, so gibt a\ + a' 2 die Hichtungs- 

 linie der Resultante a 12 an — oder anders ausgedrückt: so existiert eine 

 reelle Zahl x, sodaß die Gleichung- gilt a\ + a' 2 = xa\ 2 . 



Aber auch über die Länge der Resultante « l2 vermögen wir bei 

 Ausführung der angegebenen Konstruktion etwas auszusagen. Wir be- 

 haupten: a\ + « ' 2 selbst stellt den der gesuchten Resultante ff , 2 konjugierten 

 Vektor «■',, dar; d. h. es ist das eben eingeführte x = 1'. Betrachten wir 

 nämlich den Vektor — a 2 , so ist nach III, IV, V und 2: — ff 2 * a n = a v . Da 

 nun — ff 2 und ff 12 verschiedene Richtungslinie haben, so existiert nach dem 

 vorhin Bewiesenen eine reelle Zahl y, sodaß die Gleichung gilt: 



(— ff 2 )' + ff'i2 = ya'ii 

 oder: 



— «' 2 + «'i2 = ya>'\- 

 Addieren wir hierzu die obige Gleichung: a\ + a\ = xa' n , so folgt: 



a\ + «'i 2 = ya\ + xa\ 2 

 oder: 



(1— y)a\ = {x — l)a\ 2 . 



Da aber a v und « 12 verschiedene Richtungslinie haben, so muß x = 1, 

 y = 1 sein. — Wir fassen zusammen: Ist für zivei Komponenten a u a, von 

 verschiedener Richtungslinie a l2 = ff, *a- 2 , so gilt für die konjugierten Vek- 

 toren ff' 12 = (t\ + ff' 2 - 



Der Beweis des soeben abgeleiteten Satzes benutzt wesentlich die § 32. 

 Voraussetzung, daß die Komponenten verschiedene Richtungslinien haben. 

 Es bedarf einer besonderen Überlegung die bei Darboux fehlt — , ob 



der Satz auch für Komponenten von nicht verschiedener Richtungslinie 

 gültig ist. 



Wir setzen fürs erste voraus, die Komponenten a y und a 2 seien von 

 Kuli verschieden, von gleicher Richtungslinie und a v =j=— ff 2 . Es sei wieder 

 ff 3 ein Hülfsvektor, der senkrecht auf den Komponenten steht (einerlei nach 

 welcher Seite) und die Länge 1 hat. Dann ist die totale Resultante der 

 drei Vektoren einerseits 



«123 = «1 * «23 7 WO ff 03 = ff 2 * «3, 



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