44 Rudolf Schimmack, 



und andererseits 



ist. Auf Grund von 1, und 4 3 , sowie weil nach den Voraussetzungen 

 »i2 =j= ist, sind nun die Richtungslinien von a 2 , a 3 , n 23 , a m sämtlich von- 

 einander verschieden. Daher ist das Ergebnis des vorigen Paragraphen 

 auf drei der hingeschriebenen vier Gleichungen anwendbar: 



a',23 = a\ + a' i3 , a' n = a'. z + a' 3 , 

 a'm = ft'vi + d'-i- 

 Daraus folgt aber: 



d'\l == «'\±Z — fl'i = d'\ +«23 — «'3 = «'\ +«'•■! + «'3 — «'3 = «'l +<''■!■ 



Endlich mögen — der nachher bequemeren Formulierung wegen — die obigen 

 Voraussetzungen, daß a u «, von Null verschieden seien und «,=(=— « 2 , 

 beseitigt werden. Dies kann leicht durch die Festsetzung geschehen (auf 

 die es übrigens für das Folgende nicht wesentlich ankommt): Dem Vektor 

 « = sei der Vektor a' = konjugiert. Alsdann besteht allgemein für 

 Komponenten von verschiedener oder nicht verschiedener Richtungslinie der 

 Satz 4 4 . Ist für zwei beliebige Komponenten « 12 = «1 * a%, so gilt 

 für die konjugierten Vektoren a' n = a\ + a' 2 . 



§ 33. Ehe wir im Gange des Beweises fortfahren, bedarf es noch einer 



Betrachtung der Funktion <p. Zu dem, was wir aus dem Vorhergehenden 

 (§ 31) wissen, fügen wir sogleich eine weitergehende Behauptung — die 

 bei Darboux wiederum fehlt, die, wir aber hernach wesentlich benutzen 

 werden; wir formulieren: 



Satz 4 5 . Zu jedem positiven a gehört ein eindeutiger reeller von Null 

 verschiedener Wert <p(a). Zu jedem positiven Wert A gehört ein und nur ein 

 •positives a, für das \<p(a)\ = A ist. 



Wir zerlegen die neu aufgestellte Behauptung in zwei. Erstens: 

 | <p (a) | vermag für geeignete a jeden positiven Wert A anzunehmen. 



Um dies einzusehen, bedenken wir zunächst, daß \<p(a)\ immer die 

 Länge des dem Vektor a konjugierten a' bedeutet, daß also a' = \g>(a)\ ist. 

 Wir betrachten nun zwei Vektoren a l} a 2 von gleicher Länge a und von 

 variabelem Komponenten winkel a t a 2 , und konstruieren die konjugierten 

 Vektoren a\, «' 2 . Läßt man jetzt a { o 2 alle Werte des Intervalls n > u x a 2 :> 



