Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 45 



durchlaufen, so ändert sich der Vektor a' n = a\ + a' 2 so, daß seine Länge 

 a\ 2 = \g>(a n )\ alle Werte des Intervalls < | <p(a l2 ) | <^ 2a' durchläuft. Ist A 

 daher eine beliebige Zahl des Intervalls <A<2a', so gibt es einen 

 Komponenten winkel a l a 1 und vermöge der Gleichung « [2 = a v * a 2 also 

 ein a v2 , sodaß dafür |^(a 12 )| = A wird. 



Bezeichnen wir sodann das für den Grenzfall A = 2a' sich ergebende 

 a n mit b, für welches also b' = \<p(b)\ = A = 2a' ist, so betrachten wir 

 weiter zwei Vektoren b u b-, von der gleichen Länge b und von variabelem 

 Komponentenwinkel b^b,, und konstruieren die konjugierten Vektoren ö',, b' 2 . 

 Läßt man jetzt wiederum b { b 2 alle Werte des Intervalles n > b { b 2 ^> o 

 durchlaufen, so ändert sich der Vektor ö' 12 = b\+b' 2 so, daß seine Länge 

 b\ 2 = \(p(b x2 )\ alle Werte des Intervalls < | <p(b n ) | ^ ia' durchläuft. Ist 

 A daher eine beliebige Zahl des Intervalls 0<J.^4a', so gibt es einen 

 Komponentenwinkel b v b 2 und vermöge der Gleichung b l2 = b v *b 2 also ein 

 b l2 , sodaß dafür \<p{b l2 )\ =A wird. In derselben Weise kann man fort- 

 fahren und das Intervall, dem das A angehören muß, beliebig vergrößern. 

 Damit ist der erste Teil der Behauptung bewiesen. 



Zweitens: Für verschiedene positive a kann \<p(a)\ nicht denselben 

 AVert A annehmen. 



Angenommen nämlich, es sei a y =j= a 2 und \(p{a i )\ = \y(a 2 )\; so be- 

 trachten wir zwei Vektoren «,, a 2 von den Längen a L bezw. a 2 , von gleicher 

 Richtungslinie und von solchem Richtungssinn, daß a\, a' 2 , deren Länge ja 

 a\ =a' 2 ist, entgegengesetzt gleich sind. Dann ist nach 4 4 : a\ 2 = a\ +a' 2 = 0. 

 Andererseits ergibt sich aber aus 4 : : a l2 === a v * a 2 =(= und also nach der 

 Definition der konjugierten Vektoren oder dem ersten Teil von 4 5 : a\ 2 =(= 0. 

 Damit haben wir den Widerspruch, der die Unrichtigkeit der Annahme 

 erweist. — Sonach ist 4 5 vollständig bewiesen. 



3. Hinzunahme der übrigen Axiome. 



Es kommt jetzt auf die genauere Bestimmung der Funktion <p an, § 34. 

 die alsbald durch Hinzunahme der beiden Axiome VI. VII gelingen wird. 



Wir betrachten zwei Vektoren «,, a 2 von beliebiger Länge und 

 gleicher Richtung und leiten zunächst aus 4 4 eine Beziehung ab, die war 



