46 Rudolf Schimmack, 



gebrauchen. Für die Resultante a n ist nach 4 4 : a' n = <i\+«\ oder, was 

 dasselbe ist: 



. ff («12) „ ff(«i) „ , ff(«*)„ 



W10 = — fei -| - ff 2. 



a 12 öi a 2 



Da nun bei der Gleichheit der Richtung der Komponenten — a { = a. 



ist, so folgt: 



«1 « 2 



ff («12) „ ff(«l) + ff(« 2)„ . 



«12 _ " "■!) 



«12 



oder, wenn wir die Längen bilden: 



I ff («i2)| = I ff («]) + ff («bl- 

 indem nun die Hinzunahme von Axiom VI besagt, daß « 12 = a { +a t 

 ist, ergibt sich für die Funktion <p die Eigenschaft, daß für je zwei beliebige 

 positive Zahlen a h a 2 die Gleichung besteht: 



|ff(«l+« 2 )| = |ff(«l)-r-ff(«2)|- 



Angenommen aber, es gäbe ein Wertepaar a h a, für das — cp (a t + a 2 ) = <p (a L ) 

 + <p{(h) ist, so würde folgen: — ff («1) = ff («i + «2) + ff («2), oder wenn wir 

 beiderseits die absoluten Werte bilden und rechter Hand die obige Relation 

 anwenden: | ff(«i) | = |ff(«i +2a 2 )|. Dies ist jedoch nach 4 5 unmöglich! 

 Also gilt der 



Satz 5. Die definierte Funktion <p(a) hat die Eigenschaft, daß für 

 je zwei beliebige positive Zahlen a l} a 2 die Funktionalgleichung besteht: 



fffai + Oj) = gp(ai) + 9>(a 2 )- 



§ 35. Die Betrachtung der hier abgeleiteten Funktionalgleichung ist der 



der früheren Funktionalgleichung f(x + x') = f{x) + f{x') durchaus gleich- 

 wertig. Jede Lösung g>(x) gibt mittels der Definitionen f(x) = <p(x) für 

 x>0, fix) = — (p{— x) für x < 0, /"(O) = eine Lösung f(x), — die hierbei 

 hereingebrachten Beziehungen f{ — x) = — f(x) und f(0) = sind für alle 

 Lösungen f(x) notwendig — ; und umgekehrt: jede Lösung f(x) gibt durch 

 Beschränkung des Arguments auf positive Werte eine Lösung <p (x). Die 

 Sätze des ersten Abschnitts sind hier daher sofort anwendbar. 



