50 Rudolf Schimmack, 



möglich, daß ein Teilsatz, der aus den n ersten Axiomen folgt und aus den 

 n— 1 ersten nicht folgt, doch ableitbar ist, wenn man zu den »— 1 ersten 

 eins oder mehrere der auf das wte folgenden Axiome hinzunimmt. 



So ist bei unserem Darboux scheu Beweisgange z. B. der Satz 1 2 (also 

 daß 0*0 = ist) aus I, II ableitbar, aus I allein natürlich nicht ableitbar; 

 dagegen wieder ableitbar, sobald man V zuläßt, das den Satz ja als Spezial- 

 fall enthält. Selbst wenn man V in der eingeschränkten Form annähme: 



a * = a. falls a 4= 0, 



so würde L bei Hinzunahme von III, IV, VI ohne II abzuleiten sein. An- 

 genommen nämlich es sei * = x von Null verschieden, so folgt für einen 

 Vektor n, der mit x gleiche Richtung hat: 



a * x = « * (0 * 0) = (a * 0) * = a * = a, 



also \a * x\ = a; nach VI ist aber | a * sc| = a-t- x; es kann daher nicht 

 x 4= sein. 



Will man somit durch eine Pseudoaddition zeigen, daß 1 2 nicht ohne 

 II ableitbar ist, so kann man nicht die Erfüllung aller übrigen Axiome 

 verlangen, sondern muß etwa noch auf V verzichten. Dann gilt aber auch: 



I, — , III, IV, — , VI, VII J> 1, nach A". 



§ 39. Man möchte vielleicht glauben, wir hätten den Darboux sehen Beweis- 



gang, wie er bei Darboux selbst vorliegt, an einigen Stellen mit überflüssiger 

 Breite ausgeführt. Es ist hier der Ort, wenigstens von einer wichtigen Stelle 

 zu zeigen, wie sich die größere Ausführlichkeit rechtfertigt. 



In §§ 32 bis 34 kommt es darauf an, daß sich allein auf Grund der 

 Axiome I, II, III, IV, V etwas über die Umkehrbarkeit der Funktion <p 

 und außerdem die Relation 



(ß) |<P(ffli2)| == \<p{ai) + <pyfli)\ 



ableiten läßt. Man könnte nun versuchen — und so tut es in der Tat 

 Herr Wellstein in einer Darlegung des Darboux sehen Beweisganges der 

 Vektoraddition 1 ) — , ohne Hinzunahme eines weiteren Axioms zu erschließen, 

 daß sogar die Gleichung 



i) H. Weber und J. Wellstein, Enzyklopädie der Elementarmathematik, Band III, 

 Leipzig (Teubner) 1907, S. 44 f. 



