Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 51 



(ß) <p(a n ) = <p (a,) + (fia. 2 ) 



gilt. Dieser Schluß ist indes unmöglich, wie die Pseudoaddition H beweist. 

 Denn bei dieser ist I bis V und damit die Relation («) erfüllt, dagegen VI, 

 VII sowie die Relation (ß) nicht erfüllt. Erst nach Hinzunahme von VI 

 folgt auf Grund der übrigen bewiesenen Eigenschaften der Funktion <p, daß 

 9>(«i2) = und somit ^(a^+a-,) = <p (a, ) + <p (a. 2 ) sein muß. 



Beiläufig mag noch betreffs der Sätze 3 1; 3,, 3 3 bemerkt sein, daß 

 Darboux diese nicht hat, sondern sofort die Sätze 4 1; 4 2 , 4 3 aufstellt. Er 

 meint die Beweise für die letzteren lediglich auf Grund seiner Voraus- 

 setzungen I, II, d. h. auf Grund der Axiome I bis IV zu erbringen. Die 

 Hinzuziehung von V ist indes durchaus notwendig, wie schon aus den 

 Sätzen des § 37 hervorgeht. Noch schärfer wäre es wohl durch Hinweis 

 auf die Pseudoaddition G' zu zeigen, die den Satz liefert: 



I, II, III, IV, — 3) 4,. 



2. Abänderungen des Axiomsystems. 



Auch für die Frage nach Abänderungen des Axiomsystems liefern 

 die im achten Abschnitt angegebenen Pseudoadditionen sichere Kriterien. 



Wir betrachten zunächst ein Axiom von der Möglichkeit der Sub- § 40. 

 traktion, das wir mit V* bezeichnen mögen: 



Axiom V*. Für zwei beliebige Vektoren a, b existiert (mindestens) 

 ein a s , sodafs a x * a = b. 



Über dieses Axiom behaupten wir: 



I, II, 



III, 



IV, 



V ^ V*, 



I, II, 



1 



IV, 



V* ^ V. 



Setzen wir nämlich I bis V als gültig voraus, und bilden für zwei beliebige 

 Vektoren a, b auf Grund von I den Vektor a x = b * — a, so ist: 



a t * a = (& * — ii) * a = b * ( — a * a) nach IV 



= 6*0 nach 2 (= I, II, III) 



= b nach V; 



also ist V* erfüllt. Setzen wir umgekehrt I, II, IV, V* voraus, so gibt es 

 für einen beliebigen Vektor a ein a u sodaß a x *0 = a nach V*; dann ist: 



7* 



