52 Rudolf Schimmack, 



o * = (a, * 0) * = di * (0 * 0) nach IV 



= fflj * nach 1 2 (= I, II) 



= a nach Definition; 



also ist V erfüllt. 



§ 41. Indem wir einen Augenblick außer acht lassen, daß bei dem letzteren 



Beweise III nicht benutzt worden ist, können wir sagen: Bei Voraussetzung 

 von I, II, III, IV sind V und V* äquivalent. Es erscheint indessen von 

 Wichtigkeit zu bemerken — auch aus prinzipiellen Gründen — , daß diese 

 Äquivalenz nur bei der Voraussetzung der sämtlichen (!) Axiome I, II, III, 

 IV auszusprechen ist. Dies wird klar hervortreten, wenn wir mit der Be- 

 nutzung der Pseudoadditionen folgende Tabelle aufstellen: 



f 1 ' 



J 



in, 



IV, 



V } V* 



nach A 



u 



1 



in, 



IV, 



V* ^) V 



nach G'" 



fl. 



II, 



i 



IV, 



V 3> V* 



nach C 



II, 



n, 



— , 



IV, 



V* ~^> V 



nach § 40 



fl. 



n, 



m, 



^ 



V 2t> v * 



nach D 



II, 



ii, 



in, 



) 



V* 3J) V 



nach F'. 



Und das Nichtfolgen bleibt bestehen, wenn man in jedem Fall auch 

 die noch übrigen Axiome VI, VII hinzunimmt; ausgenommen allein die 

 Aussage der zweiten Zeile! Zieht man nämlich VI in die Betrachtung 

 hinein, so gilt 



I. — , III, IV, V, VI J) V* nach Ä 

 I, -, III, IV, V* VI ^ V, 



wie sogleich bewiesen werden soll. Nach V* existiert nämlich ein b und 

 ein c, sodaß &*0 = und c * (0 * 0) = b ist. Dann wird: 



b * b = c * (0 * 0) * b — (c * 0) * (0 * b) nach IV 



= (C * 0) * (6 * 0) nach III 



= (c * 0) * nach Definition 



= C * (0 * 0) = b nach IV und Definition. 



Hiernach ist | b * b | = b. Nach VI ist für von Null verschiedenes b jedoch 

 | b * b | = 2 b , also muß 6 = sein und somit 0*0 = 0. Mittels dieses 

 Satzes l a folgt aber ebenso wie in § 40 ohne Hinzunahme weiterer 

 Axiome das V. 



