Axiomatiscüe Untersuchungen über die Vektoraddition. 53 



Nach dem hier Angeführten sind bei Voraussetzung von I, III, IV, 

 VI die V und V* nicht äquivalent, sondern V* fordert mehr als V. Etwas 

 Entsprechendes ergibt die dritte und vierte Zeile der obigen Tabelle: Bei 

 Voraussetzung I. II, IV sind V und V* nicht äquivalent, sondern V* fordert 

 mehr als V. Man kann daher sagen : V und V* sind nicht absolut äquivalent, 

 sondern nur relativ zu der Gesamtheit der Axiome I, II, III, IV. 



An die Tatsache, daß V und V* bei Voraussetzung von I, II, IV § 42. 

 nicht äquivalent sind, kann man eine Frage der Restbestimmung an- 

 schließen: Läßt sich eine Forderung V* } angeben von der Art, daß V und 

 V*> zusammen dem V* bei Voraussetzung von I, II, IV äquivalent sind?, 

 d. h. also, daß 



i, ii, iv, vTv» ;> v* 



I, II, IV, V* ^ V und V<*>. 



Diese Eigenschaften besitzt in der Tat das 



Axiom V ( *>. Zu jedem a existiert ein «, , sodafs « t * a = wird. 



Da V w als Spezialfall in V* enthalten ist und die Ableitung von 

 V aus I, IL IV, V* in § 40 erbracht wurde, bleibt allein noch zu beweisen, 

 daß V* aus I, II, IV, V, V*' folgt. Nämlich: Sind a, b beliebige Vektoren, 

 so gibt es ein a t , sodaß a x * a = nach V* ; . Dann wird für den Vektor 



a., * a = (b * a t ) * a = b * («i * a) nach IV 



= b * nach. Definition 



= b nach V, 



also ist V* erfüllt. Das Axiom III genügt dieser Aufgabe der Restbestimmung 

 nicht. Denn es gilt: 



L II, IV, vTlII ^ V* nach § 40 



O V nach S 40 

 I TT IV V* '-^ 

 ' ' ' \J> III nach C. 



Auf Grund der vorhergehenden Betrachtung können wir sagen: V* § 43. 

 ist in der Tat geeignet V zu ersetzen, ohne damit die frühere Ableitung 

 des Additionssatzes wesentlich zu verändern. Gleichwohl erscheint diese 

 Modifikation nicht empfehlenswert, da V* unter Umständen mehr fordert 

 als V. — Entsprechendes gilt nun auch von den Axiomen, die bei Darboux 



