Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 



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d. h. «,o hat dieselbe Richtung wie die Komponenten, und a n ist die Summe 

 der Komponentenlängen. Haben andererseits a u ci 2 entgegengesetzte Richtung, 

 so ist — «[ = ei*, also: 



y(«i) — <p(.a-i) „ ff («12) „ 



CT [ — t'12- 



ß[ «|0 



Hieraus folgt nach 5: 



falls 



«i > « 2 : 









9>(«i— < 

 «, 





_ 9 («12) 



«12 



und 



somit 









l 

 — «i 



_ 1 



~ «12 



<*12i 





\cp{a { 



— «2)1 



= I^(«I2) 



oder 



■a-2. = «i2 nach 4 5 ; 



falls «! < a 2 : 



cp(a 2 — öj) 



"i 



und somit 



a. 



y(«i2) 

 «i-i 



«1 2 ! 



«T2 > 



l<jt>(« 2 — «l)l-= l<p(« 12 )l 

 oder « 2 — «i = a,2 nach 4 5 ; 



d. h. a n hat dieselbe Richtung wie die längere Komponente und « 12 ist die 

 Differenz der Komponentenlängen. Damit ist VI bewiesen. 



Analoges ist von VII zu sagen. Bei Voraussetzung von I, II, III, 

 IV, V, VI sind VII und VII offenbar äquivalent. Läßt man dagegen eins 

 der Axiome II, HI, IV, V fallen, so fordert VII mehr als VII. Nämlich: 



I, — , III, IV, V, VI, VII ^) VII« nach A 



I, II, — , IV, V, VI, VII J) VII» nach C 



I, II, III, — , V, VI, VII J) VII» nach I) 



I, II, III, IV, — , VI, VII J) VII nach G, 



während natürlich VII stets Folge von VII ist. Nur bei Weglassung von 

 VI, also bei Voraussetzung von I, II, III, IV, V, bleiben VII und VIP 

 äquivalent; dazu haben wir hier noch zu beweisen, daß 



I, II, III, iv, v, — , VII 2> VII". 



Vermöge Definition (§ 31) ist nämlich die Funktion cp(a) nach VII 

 (im Definitionsbereich) totalstetig. Sie hat daher, da sie nie = ist, immer 

 dasselbe Vorzeichen. Da aber \g>(a)\ jeden positiven Wert genau einmal 



§45. 



