OD Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 



annimmt (§ 33), so muß fp(a), indem es entweder stets zunimmt oder stets 

 abnimmt, eine eindeutige (im Definitionsbereich) totalstetige Umkehrung 

 besitzen. Betrachten wir jetzt die Definition der konjugierten Vektoren 

 (§31f), so ist a' eine totalstetige Funktion von a und umgekehrt a eine 

 totalstetige Funktion von a'. Angewandt auf 4 4 ergibt das: a, 2 ist eine 

 totalstetige Funktion von a' n , a' n = a\ + a', ist offenbar eine solche von 

 a\ + a'- 2 , letztere sind totalstetige Funktionen von a t und a,; also ist auch 

 a n eine solche von a t und « 2 - Damit ist VII bewiesen. 

 § 46. Endlich möge noch eine Modifikation unseres Axiomsystems angeführt 



sein, bei der die Anzahl der Axiome um eins verringert ist. Man kann V 

 streichen, wenn man statt VI das ein wenig erweiterte Axiom nimmt: 



Axiom VI t0) . Für zwei beliebige Vektoren a, b von nicht ver- 

 schiedener (!) Richtung ist \a *b\ = a + h. 



Daß VI aus VI (0) folgt, ist trivial. Es bleibt zu beweisen, daß V 

 aus VI (0) mit Hinzunahme anderer Axiome ableitbar ist. Wir behaupten: 



I, II, IV, VI<°> ^ V. 

 Für jeden beliebigen Vektor a gibt es nämlich nach 1 2 (— I, II) ein x, so- 

 daß «*0 = xa. Da aber nach VI <0) | «■ * | = a ist, so muß x entweder 

 = + l oder = — 1 sein. Angenommen es könnte x = — 1 sein, so wäre 

 n *0 =— (i, und nach II auch — a *0 = a. Daraus würde folgen: 



(ft * 0) * = — a * = a, 



a * (0 * 0) = a * = — a nach 1 2 (= I, II), 



also ein Widerspruch gegen IV. Es muß daher stets x = + 1 sein ; damit 

 ist V bewiesen. Bei diesem Beweis ist jedes der benutzten Axiome not- 

 wendig, mag man auch die übrigen Axiome III und VII statt ihrer heran- 



VII J) V nach G" 

 VII 2t> V nuchF' 

 VII ^J> V nach G 



(selbst wenn man in letzterer Zeile noch VI hinzunähme). 



Die hier angegebene Modifikation ist indes nicht zu empfehlen. 

 Gerade dadurch, daß nach Hinzuziehung von V die Axiome VI, VII möglichst 

 lange ausgeschlossen bleiben, wird der Darboux sehe Beweisgang des Additions- 

 satzes so durchsichtig. 



ziehen; denn: 













I, - 



III, 



IV, 



VI«» 





I, II, 



III, 



1 



Vl(0), 





l, II, 



III, 



IV, 



J 



