58 Rudolf Schimmack, 



Da in den Fällen, wo die Komponenten beide Null oder entgegen- 

 gesetzt gleich sind, dem Satz 2' 2 auf Grund von 1' 2 und 2\ nicht wider- 

 sprochen wird, so können wir diese Möglichkeiten beim Beweise vorweg 

 ausschließen. Ist nun der Komponentenwinkel < x, so ist die ihn halbierende 

 Richtungslinie eindeutig bestimmt. Angenommen die Resultante läge außer- 

 halb dieser Halbierenden. Führt man dann eine starre Drehung von 180" 

 um die Halbierende aus, so ist die Endlage der Resultante gemäß II von 

 ihrer Anfangslage verschieden (!); andererseits geht hierbei die erste Kom- 

 ponente in die zweite, die zweite in die erste über, weshalb nach III die 

 Resultante dieselbe (!) sein muß. Damit ergibt sich ein Widerspruch gegen I, 

 falls die Resultante =)= ist. Ist die Resultante indes = 0, so wird ja dem 

 obigen Satz auch nicht widersprochen. Damit ist 2' 2 vollständig bewiesen. 



Durch Hinzunahme von Axiom VIII folgt weiter: 

 Satz 3'. Haben zwei Komponenten «,, a, 2 gleiche Länge a i =^a 1 und 

 ihr Komponentenwinkel ist a^a 2 = m l2 , so ist die Länge der Resultante a i2 : 

 a \i = «ity ; (a>i2)> wo rp eine gewisse Funktion bedeutet: und zwar ist rp für 

 den Wertebereich, von <a l2 endlich und eindeutig definiert, nie negativ, und 

 speziell y O) === o. 



Nämlich nach I, II muß es eine gewisse endliche, eindeutige, nie 

 negative Funktion /' geben, sodaß a l2 = /"(«,, co l2 ) ist. Nach VIII ist für ein 

 beliebiges positives x aber xa n = xa A *xa 2 also da auch xa h xa% gleich 

 lang sind und denselben Komponentenwinkel einschließen, xa n = f(xa t , «?,,). 

 Wählen wir nun für von Null verschiedene Komponenten x = —, so folgt 



a 



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a 



f(i,a> l2 ) = v(<»i2), also die obige Formel, wobei ip stets endlich und 

 eindeutig ist. Speziell für die Komponenten Null ist die Formel mit 1' 2 in 

 Übereinstimmung, wenn wir tp als stets endlich bezeichnen. Schließlich 

 muß nach 2\ auch rp(x) = o sein. 



§ 19. Durch Heranziehung des Axioms IV wird es alsbald gelingen, 



für die Funktion rp eine Funktional gleichung aufzustellen. 



Wir betrachten vier gleichlange, von Null verschiedene Vektoren a u 

 a 2 , « 3 , « 4 (a, = a 2 = % = a 4 = a =f= 0) von solcher Lage, daß a u a 2 , wenn 

 man mit ihnen um die Halbierungslinie OS ihres Komponentenwinkels m n 



