Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 59 



eine geeignete starre Drehung' ausführt, bezüglich mit a 3 , « 4 gleichzeitig 

 zusammenfallen. Dann ist der Komponentenwinkel co 3i = co n und die par- 

 tiellen Resultanten a, * a 2 — a l2 , a 3 *a i = a u haben sowohl die gleiche 

 Länge, nämlich a l2 — a u = a^(<» 12 ) nach 3', als auch nicht verschiedene 

 Eichtung, nämlich dieselbe Seite der Symmetrieachse OS, nach 2' 2 und II. 

 Folglich liegt auch die totale Resultante a n * a u = a mi in OS und hat 



die Länge: 



«1234 = «12^(0) = a^p(0)ip(co l2 ). 



Andererseits liegen die partiellen Resultanten a ± * a 3 = « 13 , a 2 * « 4 = a 2i 

 bezüglich nicht außerhalb der Halbierungslinien der Winkel d^a 3 = co i3 

 und oT« 4 = eo 24 = a»i3, und zwar ist nicht nur ihre Länge die gleiche: 

 a 13 = a 2i = ay(co n ), sondern a i3 und a u liegen auch so, daß OS die 

 Halbierungslinie des Winkels a i3 a u = a> 1324 ist. Daher folgt für die totale 

 Resultante a 13 * a u = «1324: 



«ml = «13 ^(«»1324) = ay)(co mi )ip{co l3 ). 

 Da aber nach HI, IV 



«1324 = («1 * «3) * («2 * «4) = («1 * «2) * («3 * «4) = «1234 



ist, so ergibt sich aus der Gleichsetzung der gewonnenen Ausdrücke für 

 a 1234 und a 1324 , weil a 4= ist: 



Darin sind die drei co, indem man «,, a i3 und OS eine rechtwinklige Ecke 

 bilden, an die Beziehung gebunden: 



COS i<ö 12 = COSia>| 324 COS y<»13' 



Man kann offenbar » 1324 , m l3 als unabhängige Variable in ihren Bereichen 

 0<jco m 4^jr, 0<;eo 13 <^ ansehen, w n variiert dann als Abhängige in dem 

 Bereiche 5S a> 12 <; jt. 



Die damit erhaltene Funktionalgleichung für ip(w) nimmt eine be- 

 quemere Form an, wenn man mittels umkehrbar eindeutiger Substitution 

 zwei Zahlen cos ^co 1324 = x 1} cos |<o 13 = x 2 als unabhängige Variable in den 

 Bereichen <; ^ <: 1, < x, 2 < 1 einführt und die Funktion rp (2 arccos . . .) = w* (■ • •) 

 setzt. Dann können wir den Satz formulieren: 



