60 Rudolf Schimmack, 



Satz 4'i. Die Funktion ip*(x) ist für das Intervall 0<^#<;i endlich 

 und eindeutig definiert, nie negativ, genügt der Funktionalgleichung 

 V*(l)^*(#i«2) = ty*(Z\)V>*(%2)> wn ^ es ist V>*(0) = 0. 



§ 50. Wir fügen hier, den Gedankengang unterbrechend, zwei Sätze ein, 



deren wir im folgenden bedürfen, zu deren Ableitung kein weiteres Axiom 

 erforderlich ist, sondern sogar nur die Axiome I, II, III, IV. 



Satz 4' 2 . Drei gleichlange Vektoren, die (in einer Ebene liegen und) 

 miteinander je den Winkel — bilden, haben die Resultante Null. 



Auf Grund von IV hat es einen Sinn, von der Resultante dreier 

 Vektoren zu sprechen. Bezeichnen wir die Komponenten mit a u a i} « 3 , so 

 ist die Richtungslinie von «, * a 2 nicht verschieden von der Halbierungs- 

 linie des Winkels «7« 2 (nach 2' 2 ), also nicht verschieden von der Richtungs- 

 linie des a 3 . Daher ist die Richtungslinie von («, * a 2 ) * a 3 von der 

 Richtungslinie des a 3 nicht verschieden (nach 1\). Analog erkennt man, 

 daß die Richtungslinie von a^ * (a-, * a 3 ) von der Richtungslinie des «, nicht 

 verschieden sein kann. Nach IV sind die hier gebildeten Resultanten 

 identisch, also müssen sie = sein. Damit ist 4' 2 bewiesen. 



Satz 4' 3 (= 3J. Wenn die Resultante zweier Vektoren Null ist, so 

 haben entweder die Komponenten nicht verschiedene Richtungslinie, oder die 

 Komponenten ergeben, einzeln mit Null verknüpft, Null. 



Der Beweis dieses Satzes, der mit Satz 3 X des Darboux sehen Beweis- 

 ganges identisch ist, geschieht genau wie in § 29. 



§ 51. Durch Hin zu nähme von Axiom V folgt jetzt ein Satz, der mit 



4 X des Dar boux sehen Beweisganges übereinstimmt. Und zwar ist der Beweis 

 ebenso wie in § 30 zu führen. 



Satz 5', (=4!). Wenn die Resultante zweier Vektoren Null ist, so 

 sind die Komponenten entgegengesetzt gleich. 



Da nach diesem Satze die Resultante gleichgerichteter Komponenten 

 von Null verschieden ist, so ergibt sich — indem wir nun wieder an das 

 in § 49 Gewonnene anschließen — : %p (o) = tp* (1)4=0. Aus der Funktional- 

 gleichung von 4\ erhält man aber durch wiederholte Anwendung für be- 

 liebige Zahlen x u x 2 , ..., x„ des Intervalles 0<:a:<;i: 



y* (1) "- 1 y* (xi x 2 ... x„) = y* (x t ) y* (*,) . . . ip* (x n ). 



