Ax.iomatisclie Untersuchungen über die Vektoraddition. 61 



Wählt man hierin x t = x^ = . . . ±= x„ = x, so ergibt sich für beliebiges x 

 des Intervalles 0<^^i und für positives ganzes n: ^(l)"- 1 ^*^") = (xp*(x)) n . 

 Sei jetzt pjq eine beliebige positive rationale Zahl und x a eine beliebige 

 Zahl des Intervalles Ofg> <Cl> so ist nach der letzten Gleichung: 



für x = x , n = p | ip*(l) p ~ 1 f*(x () p ) = (</>*(#o)) p i 



für x = x i, n = q | ^* (l) 3 " 1 y*(x a p ) = {%p*{x^))i. 



Daraus folgt, da rp* (l) 4= ist : 



p_ 1 p_ p_ 



y>*(D* ni*{x^) = {ip*(x )y 



oder 



Wir schränken nunmehr x dahin ein, daß < x < 1 ist. Dann kann einer- 

 seits die [. . .] = x c gesetzt werden, wo c eine geeignete reelle Zahl bedeutet; 



sodaß man hat 



p p 



ip*(x i) = ■tp*(l)-(x '') c . 



£ l 



Andererseits erfüllt dann die Menge der Zahlen #„« das Intervall < x i < 1 ' 



überalldicht an. Damit gewinnen wir den 



Satz 5' 2 . Für eine überalldichte Menge von Argumenten x des Inter- 

 valls 0<x<\ ist p*(x) = ip*(l)'X c , ivo c eine reelle Konstante bedeutet; und 

 es ist rp*{\)> 0, »p*(0) = 0. 



2. Hinzunahme der übrigen Axiome. 



Durch Hinzunahme des Axioms VII* folgt weiter, daß ip(m) für § 52. 

 alle Argumente des Intervalls 0<,co^tc, und somit ip*(x) für alle Argumente 

 des Intervalls <; x <; 1 stetig sein muß. Daraus ergibt sich, daß für alle x 

 des Intervalls 0;g><;i: ip*(x) = %p*(l)-x c , c> sein muß, und zwar das 

 letztere, damit wie notwendig 



ip*(0) = ^*(l)-lim (x c ) = 



x = 



wird. Für die Funktion xp(a>) lautet das Ergebnis: 



ip(a>) = ^(O)-(cos hm) , 0<.co<Iji. 



