Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 63 



Erhebt man die drei Gleichungen in die -te Potenz (c> o), addiert die beiden 

 ersten und subtrahiert die letzte, so wird: 



1111 i i i 



a u . c + <hr c — a 33 ,c = «i c *2 (cos ßi + cos ß 2 + cos« 3 ) = 0, a sr c = a n '° + a 2i < c . 



Da nun nach 4', und 1' 2 : (« t * a^ * a 3 ) * (a y * a 2 < * a y ) = * = ist, so 

 ergibt sich nach III, IV und 5\: a n > * « 22 < * «33' = 0, — a 33 ' = a n < * a i2 -- 

 Beachtet man endlich, daß nacb G\ a n >, a n -, — a i3 > auf dem Strahl OS liegen, 

 nicht in entgegengesetzter Richtung, so kann man den Satz formulieren: 



Die Resultante der beiden gleichgerichteten Vektoren a n .-, a n ist mit 



den Komponenten gleichgerichtet, und ihre Länge bestimmt sich aus der 



1 1 1 



Gleichung a n > 2 r c = a n > c *a. 22 < c . 



Es bleibt noch zu erörtern, ob zwei beliebige (!) gleichgerichtete § 54. 

 Komponenten a h «n sich als bezügliche Resultanten von solchen Kompo- 

 nenten a u a v , a 2 , a r , wie sie oben betrachtet wurden, auffassen lassen. 

 Dazu ist notwendig und hinreichend, daß sich die drei Größen a u « 2 , a y = a, 2 

 so wählen lassen, daß die folgenden Bedingungen erfüllt werden: 



2 ji 



a t (2 cos a,) c = a\; a x (2 cos a 2 Y = au; | a t — « 2 1 5^-r - < «1 + a 2- 



ö 



Dies ist in der Tat stets möglich. Denn nehmen wir, ai^an vorausgesetzt, 

 a 4 > an und im übrigen beliebig an , so wird < — <^ — < 1 ; und indem 

 sich aus den beiden Gleichungen, die wir so schreiben können : 



cos a, = U — ]c; cos a.j = L A — U, 

 -\aj -\aj 



die a,, « 2 eindeutig bestimmen, erhält man zugleich: 



also 



< COS ßj fg cos ß 2 < f, - > ß t ;> ß 2 > -, 



0<ßi — ß 2 <-; — < ßi + «2 < *; 



b 6 



damit ist auch die Ungleichung sicher erfüllt. Auf Grund dieser Erörterung 

 kann das Ergebnis des § 53 folgendermaßen ausgesprochen werden: 



