64 Rudolf Schimmack, 



Satz 6' 2 . Die Resultante zweier gleichgerichteter Vektoren «i, oh ist 



mit den Komponenten gleichgerichtet, und ihre Länge bestimmt sich aus der 

 i i_ i 



Gleichung: am c = a\ c + an'. 

 § 55. Noch ohne das letzte Axiom VI heranzuziehen, beweisen wir jetzt: 



Satz 6' 3 . Die Resultante zweier Vektoren von verschiedener Richtungs- 

 linie liegt in der Ebene der Komponenten. 



Seien a u a 2 die Komponenten, « = 0,1*0,2 die Resultante. Wir 

 ziehen vom Anfangspunkt einen Halbstrahl OS so, daß er mit a u «> 

 bezüglich die spitzen (!) Winkel «,, « 2 bildet. Seien ferner a a -, «,., o, r die 

 Vektoren, mit denen bezüglich a n , «1, a 2 durch eine starre Drehung von 

 180° um OS zur Deckung gelangen würden. Bilden wir dann die partiellen 

 Resultanten: a w = « * «o'5 a>iv = «1 * «r'> a w = «2 * a r, so liegen nach 

 6'i «ir, «22' in dem Halbstrahl OS, also nach 6' 2 a o' ebenfalls, und somit 

 bildet auch « mit OS einen spitzen Winkel « . Die Formeln von 6\ und 

 6 ' 2 liefern daher: 



a 00 ' = «o (2 cos a ) c ; a M ' = a x (2cosa i ) c ; a 22 - = a 2 (2cosa 2 ) c ; 



1 11 



«00' C = «!I' C +«22'"- 



Daraus folgt, indem man die Gleichungen der ersten Zeile in die der 

 zweiten einfügt: 



iL 1 

 a c cos a n — a, c cos 0^ — a 2 c cos a 2 = p. 



Dieselbe Formel ergibt sich offenbar, wenn OS mit «, und «■■> stumpfe 

 Winkel bildet, indem an Stelle jedes cos «,- nur — cos«,- tritt. Aber auch für 

 solche Halbstrahlen OS bleibt sie gültig, die mit den Komponenten a u « 2 

 einen spitzen und einen stumpfen Winkel bilden. Sei a x spitz, « 2 stumpf, 

 so betrachtet man, falls a spitz ist. die Gleichung «, = « * —«2 und hat dann: 



a n , = a x (2cosa,) c ; a w = a (2 cos« ) c ; a 22 . = a 2 ( — 2 cosc^)": 



1 1^1 



«n' c = ßoo- c +a22- c - 

 Falls aber « stumpf ist, bildet man o 2 = a * — a l und hat dann: 



a- n , = a 2 ( — 2 cosa.^; a e0 ' = a ( — 2 cosa„) c ; «n' = a \ (2 cos«]) c ; 



1 i_ 1 



a. 22 < c = a 00 . c +a, r c . 



In beiden Fällen folgt daraus dieselbe Formel wie oben. 



