Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. DO 



Nachdem wir erkannt haben, daß für jede Lage des Halbstrahls OS 

 die gleiche Relation gilt, betrachten wir drei zueinander orthogonale Achsen 

 OX, OY, OZ, die mit den Vektoren a , a u «> bezüglich die Winkel bilden: 

 «o, «i, a-i] ßo, ßi, ßi', 7o, Tu 7-i- Dann gilt: 



Li! 

 do c cos «o — ßi c cos ß i — ß-2 c cos a i — 0, 



1 1 1 



a c cos ß — a, c cos ß { — a 2 c cos/? 2 = 0, 



iii 

 a c cos y — a { c cos y { — a 2 c cos y 2 = 0. 



Da aber nicht a = ßi = a 2 = ist, so folgt das Verschwinden der 

 Determinante (cos a , cos ß u cos /,), und damit ist 6' 3 bewiesen. 



Wir legen jetzt — unter Beibehaltung der eingeführten Bezeichnungs- § 56. 

 weise — die VF ebene in die Komponentenebene (y = ~/i = y-i = i^) und zwar 

 die Yachse so, daß ß l} ß 2 spitze Winkel sind. Dann muß auch ft, spitz 

 sein. Denn wäre ß nicht spitz, so würde, wenn man die Vektoren a ü >, a v , 

 a r betrachtet, die bezüglich mit a , a u a t durch eine starre Drehung von 

 180° um OY zur Deckung kämen, «, * a v und a, * a r in OY hineinfallen, 

 «o * «o' dagegen nicht, und das widerspräche 6' 2 . Also ist in der Tat auch 

 ßo spitz. Läge nun a = «, * a 2 nicht stets innerhalb (!) des Komponenten- 

 winkels 09,0, so ließe sich ein OY angeben, für welches ß i} ß 2 zwar spitz, 

 aber ß Q stumpf wäre. Da dies nicht möglich ist, so folgt: 



Satz 6\. Die Resultante beliebiger Komponenten verschiedener 

 Richtungslinie liegt stets stoischen den Komponenten. 



Bei der im vorhergehenden getroffenen Wahl des OY ist, auch mit 

 Rücksicht aufs Vorzeichen, zu setzen: cos ß = sin a , cos ß t = sin «,, cos ß 2 = sin «./ 

 Hiermit liefern die drei letzten Gleichungen des § 55: 



1 1 1 

 atf : a { c : a t c = sin (« 2 — a{) : sin (a 2 — « ) : sin (a — «,) 



= sin «, a, : sin a n a 2 : s ' n ( h a o ■ 

 Die so gewonnene Proportion besagt, zusammen mit Satz 6' 4 , folgendes: 



Satz 6' 6 . Trägt man auf den Komponenten a u a, und der Resultante 



Li 1 

 Of, = «, * «2 bezüglich die Strecken a^, a t c , a c ab, so läfst sich ein Parallelo- 

 gramm konstruieret, das die beiden ersten Strecken als Seiten, die letzte als 

 Diagonale enthält. 



Xova Acta XC. Nr. 1. 9 



